高觀點(diǎn)下的高考數(shù)學(xué)試題分析*

☉內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 胡 琳

☉內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 趙思林

“高觀點(diǎn)”是“高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)”的簡(jiǎn)稱(chēng)，由此引申出“高觀點(diǎn)”下的高考數(shù)學(xué)這一重要的研究課題.本文從“高觀點(diǎn)”的角度，對(duì)高考數(shù)學(xué)試題的類(lèi)型及案例做了分析，運(yùn)用拉格朗日中值定理、定積分、拉格朗日乘數(shù)法等“高觀點(diǎn)”，對(duì)一些高考數(shù)學(xué)試題做了分析.

一、有關(guān)“高觀點(diǎn)”的研究現(xiàn)狀

對(duì)于高考數(shù)學(xué)試題而言，“高觀點(diǎn)”是指運(yùn)用高等數(shù)學(xué)知識(shí)、方法、思想等，去分析、研究初等數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種解題策略和方法.結(jié)合“高觀點(diǎn)”來(lái)研究高考數(shù)學(xué)問(wèn)題，逐漸成為近年來(lái)高考數(shù)學(xué)研究的趨勢(shì)和風(fēng)向標(biāo)，并且取得了大量的研究成果，如下：眾所周知，菲利克斯·克萊因首次提出“高觀點(diǎn)”，其著作為《高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)》；美國(guó)的JimFey指出了利用“高觀點(diǎn)”來(lái)指導(dǎo)初等數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程；1989年蔣聲教授提出“滲透觀”；王敬庚立足變換群、拓展平面、數(shù)學(xué)方法論等“高觀點(diǎn)”來(lái)考察解析幾何；張勁松對(duì)“高觀點(diǎn)”進(jìn)行了再認(rèn)識(shí)，并基于“高觀點(diǎn)”來(lái)看待中學(xué)數(shù)學(xué)教師所處的角色；張勁松對(duì)“高觀點(diǎn)”的內(nèi)涵、理論基礎(chǔ)、定位、在新課標(biāo)中的體現(xiàn)等方面進(jìn)行了總結(jié)；陳增武以高數(shù)的運(yùn)算、概念、結(jié)論為背景，展現(xiàn)了高觀點(diǎn)試題呈現(xiàn)出的高、低現(xiàn)象；趙思林從高考創(chuàng)新題的背景出發(fā)，研究了高數(shù)、競(jìng)賽數(shù)學(xué)等背景問(wèn)題；周勇從2006年廣東省高考數(shù)學(xué)壓軸題中揭示了壓縮映射的重要概念；范東暉研究了高考試題中數(shù)學(xué)競(jìng)賽的背景與策略；史利明用數(shù)學(xué)分析中的拉格朗日中值定理、數(shù)域概念等“高觀點(diǎn)”對(duì)近幾年的高考數(shù)學(xué)題進(jìn)行了分析；蒲淑萍介紹了Klein與他的HPM思想，并給出了一定的啟示；曾建國(guó)研究了高觀點(diǎn)下關(guān)于圓錐曲線(xiàn)一組性質(zhì)的統(tǒng)一，并總結(jié)了相應(yīng)的命題、定理、引理等；方治結(jié)合2013年的高考數(shù)學(xué)試題來(lái)評(píng)析高考中的“高觀點(diǎn)”；陳美茹運(yùn)用柯西不等式、拉格朗日中值定理、凸函數(shù)的性質(zhì)、矩陣的方法、組合數(shù)學(xué)等知識(shí)來(lái)解決數(shù)學(xué)高考題；林毅用矩陣方法解決了一類(lèi)橢圓問(wèn)題，以及運(yùn)用洛必達(dá)法則解決了一類(lèi)含參導(dǎo)數(shù)問(wèn)題；侯代忠等從學(xué)生的解題故事出發(fā)，啟發(fā)出初、高等數(shù)學(xué)兩個(gè)不同角度的探究，以及展現(xiàn)了線(xiàn)性遞歸方程、母函數(shù)、不動(dòng)點(diǎn)等“高觀點(diǎn)”來(lái)研究問(wèn)題的巧妙之處；王雅琪以2015年的北京高考數(shù)學(xué)的解析幾何試題為例，將幾何問(wèn)題代數(shù)化；王雅琪以高考數(shù)學(xué)北京卷為例，考查了高考中的概率與統(tǒng)計(jì)問(wèn)題；曹世鵬研究了以高等數(shù)學(xué)的符號(hào)和概念、以高等數(shù)學(xué)基本公式、以高等數(shù)學(xué)中的矩陣知識(shí)、以高等數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)思想和積分思想等“高觀點(diǎn)”為背景的高考數(shù)學(xué)問(wèn)題；王雅琪運(yùn)用極點(diǎn)極限的“高觀點(diǎn)”解決了北京高考解析幾何中的圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題；陳建華通過(guò)對(duì)新課標(biāo)的解讀，并結(jié)合“高觀點(diǎn)”對(duì)行列式展開(kāi)了研究；郝保國(guó)展示了數(shù)論知識(shí)滲透到高考試題中的獨(dú)特魅力；張曉東從組合數(shù)學(xué)、反演變換、數(shù)論中的進(jìn)位制等競(jìng)賽背景來(lái)巧解高考數(shù)學(xué)題；張永春等利用拉格朗日中值定理來(lái)解決高考中的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題；王珊珊立足于切比雪夫多項(xiàng)式視角來(lái)探究高考題與競(jìng)賽題；趙思林等從柯西不等式、凸函數(shù)的性質(zhì)等高觀點(diǎn)來(lái)對(duì)一道高考不等式題進(jìn)行研究性學(xué)習(xí).

二、“高觀點(diǎn)”下高考數(shù)學(xué)試題的類(lèi)型及案例

1.拉格朗日中值定理

例1（2017年全國(guó)Ⅱ卷文科21題）設(shè)函數(shù)f（x）=（1-x2）ex.

（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；

（Ⅱ）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≤mx+1，求m的取值范圍.

分析：借助高數(shù)知識(shí)，能夠巧妙地解決高考中難度較大的導(dǎo)數(shù)壓軸題.

解：（Ⅰ）對(duì)（fx）=（1-x2）ex求導(dǎo)，易得

（Ⅱ）首先，將x分成兩類(lèi)，

即（fx）≤mx+1.

當(dāng)x=0時(shí)，成立，m∈R；

然后，判斷f（x）=（1-x2）ex是否符合拉格朗日中值定理的條件.

因?yàn)閒（x）=（1-x2）ex在［0，x］（x＞0）上連續(xù)，在（0，x）（x＞0）上可導(dǎo)，

所以存在ξ∈（0，x），使得

又f′（x）=ex（-x2-2x+1），

則f′（ξ）=eξ（-ξ2-2ξ+1），

所以f″（ξ）=-eξ（ξ2+4ξ+1）＜0.

則f′（ξ）在（0，x）上單調(diào)遞減.

故f′（ξ）max=f′（0）=1.

所以m≥1.

最后，取交集，

綜上所述，m的取值范圍為［1，+∞）.

注：本例運(yùn)用了數(shù)學(xué)分析中的拉格朗日中值定理，通過(guò)分類(lèi)（如x=0和x＞0）、條件（即滿(mǎn)足拉格朗日中值定理的前提條件）、取交集（即在分類(lèi)討論下取值范圍的交集）來(lái)逐步完成對(duì)此類(lèi)題的求解，但前提是不等式可以逐步構(gòu)造成拉格朗日中值定理的形式，這也是數(shù)學(xué)的巧妙之處.

2.定積分

例2（2014年江西卷理科8題改編）若g（x）=2x+x）dx=______.

所以g′（x）=2.

可設(shè)g（x）=2x+c，

注：需要注意的是：如果定積分的積分上限和積分下限都是常數(shù)，則它的結(jié)果是一個(gè)數(shù)值.

3.拉格朗日乘數(shù)法

拉格朗日乘數(shù)法在條件φ（x，y）=0的限制下，求函數(shù)f（x）=f（y，z）的極值.對(duì)于條件極值問(wèn)題，拉格朗日函數(shù)為L(zhǎng)（x，λ）=L（y，z，λ）=f（y，z）+λφ（y，z），其中λ=（λ1，…，λm）T為拉格朗日乘數(shù)向量，依次求Lx′（x，y，λ）=0，Ly′（x，y，λ）=0，Lλ′（x，y，λ）=0，進(jìn)而解出極值點(diǎn)（x，y）.

例3（2014年遼寧卷16題改編）?c＞0，對(duì)于所有的實(shí)數(shù)a，b（a，b≠0）符合條件4a2-2ab+4b2-c=0，并且使|2a+b|最大時(shí)的最小值是______.

解析：因?yàn)閨2a+b|2=4a2+4ab+b2，

所以構(gòu)造函數(shù)L（a，b）=4a2+4ab+b2+λ（4a2-2ab+4b2-c）.

將λ消去，則有2a=3b，

注：本例巧妙地利用了拉格朗日乘數(shù)法，便可使得多元參數(shù)的最值問(wèn)題迎刃而解.

三、“高觀點(diǎn)”數(shù)學(xué)試題的教學(xué)建議

張勁松曾提出了“高觀點(diǎn)”的理論基礎(chǔ)，有認(rèn)識(shí)的辯證運(yùn)動(dòng)、下位學(xué)習(xí)、螺旋式課程等，從中可以體會(huì)到“高觀點(diǎn)”對(duì)解決初等數(shù)學(xué)問(wèn)題的獨(dú)特作用.“高觀點(diǎn)”是教學(xué)改革中的一種創(chuàng)新，“高觀點(diǎn)”具有高、深、難等顯著特點(diǎn)，高即是思維觀點(diǎn)高、素養(yǎng)品質(zhì)高，深即是深刻，難即是有一定難度.基于“高觀點(diǎn)”的教學(xué)有如下建議：一是要結(jié)合要點(diǎn)學(xué)習(xí)、研究、思考；二是可以多搜集一些有關(guān)高觀點(diǎn)的文獻(xiàn)資料；三是精選案例進(jìn)入課堂教學(xué)，為學(xué)生提供優(yōu)良的教學(xué)案例；四是教師立足“高觀點(diǎn)”，自己開(kāi)發(fā)練習(xí)題，讓學(xué)生得到好的訓(xùn)練；五是通過(guò)對(duì)“高觀點(diǎn)”的學(xué)習(xí)，為學(xué)生編擬出更有價(jià)值的數(shù)學(xué)問(wèn)題.“高觀點(diǎn)”的教學(xué)，要激發(fā)學(xué)生積極思考數(shù)學(xué)問(wèn)題，引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生們能舉一反三，逐漸領(lǐng)會(huì)變式、遷移等技巧.此外，還可以鼓勵(lì)并指導(dǎo)學(xué)有余力的尖子生學(xué)習(xí)一些高等數(shù)學(xué).