高三二輪復習專題：減元法解決導數多變元問題

☉四川省成都七中 王 華

導數是高中數學的重要內容，高考數學的壓軸題也經常考查學生運用導數研究函數的綜合能力.下面通過幾個典型例題，說明“減元法”是解決導數壓軸題中“多變元”問題的通性通法.

例已知函數f（x）=ax+lnx+1.（1）略；

（2）對任意x＞0，f（x）≤xe2x恒成立，求實數a的取值范圍.

解：（2）方法一：由題意，對任意x＞0時ax+lnx+1≤xe2x恒成立，等價于）在（0，+∞）上恒成立.

綜上所述，a≤2（此方法也稱為“隱零點法”，本質是消掉超越運算.）

方法二：由題意，x＞0時ax+lnx+1≤xe2x，即a≤e2x-

考題鏈接：1（.18屆成都三診改編）已知函數（fx）=xalnx-1，當a∈（0，1）∪（1，+∞）時，（fx）恰有兩個零點x1，x2

證明：由題意得x＞0），而a∈（0，1）∪（1，+∞）.

思路一：

所以g（t）在（0，1）上單調遞增，

所以當t∈（0，1）時，g（t）＜g（1）=0，

綜上所述，原不等式成立.

考題鏈接：2（.2019屆成都一診）：已知函數（fx）=-alnx-，a∈R（.1）略.

解：（2）由題意得，當a=1時，不等式（fx）+bx≥1恒成立，

即xex-lnx+（1-b）x≥1恒成立，

因為當x＞0時，有h′（x）＞0，

所以h（x）在（0，+∞）上單調遞增，且h（1）=e＞0，-ln2＜0.

所以當x∈（0，x0）時，h（x）＜0，g′（x）＜0，g（x）單調遞減；

當x∈（x0，+∞）時，h（x）＞0，g′（x）＞0，g（x）單調遞增.

所以g（x0）為g（x）在定義域內的最小值.

而k（′x）=（x+1）ex＞0，對x∈（0，+∞）恒成立，

即k（x）在（0，+∞）上單調遞增，

易知m（x）單調遞增.

所以實數b的取值范圍為（-∞，2］.

方法小結：

1.一般的多變元問題我們常考慮通過“減元法”將多變元轉化為單變元進行求解.

2.“隱零點法”是通過代換，將超越形式消掉，化為普通運算.

3.文中所指的“多變元”問題，可以是廣義上的，比如“隱零點法”中e2x0和lnx0的計算問題，利用方程進行消元，轉化為普通多項式的計算問題，體現了化繁為簡、化未知為已知的基本解題思路.

4.方程思想是“減元法”的靈魂.F