高中數學必修教材中數學史內容的比較研究*
——以人教A版和北師大版為例

☉太原師范學院數學系 王保紅

☉太原師范學院教師教育學院 郭甜甜

☉太原師范學院教師教育學院 陳夢瑤

一、問題提出

《普通高中數學課程標準（實驗）》中明確提到：“數學課程應適當介紹數學發展的歷史、應用和趨勢”，“要在高中數學教材及數學教學過程中滲透有關數學史的內容”.新修訂的《普通高中數學課程標準（2017年版）》凝練了學科核心素養，強調“將數學文化融入教學，有利于激發學生的數學學習興趣，有利于學生進一步理解數學，有利于開拓學生視野、提升數學學科核心素養.”顯然新舊課標都提倡將數學史與數學文化有效融入數學教學之中.數學教材是數學課程標準得以落實的重要承載體，是實施課堂教學最重要的保障和資源.近年來，HPM（History&Pedagogy of Mathematics，數學史與數學教育）領域已經對數學教材中的數學史和數學文化內容進行著積極的探索.正如汪曉勤教授指出的“人們在探討數學史與數學教育之間關系的時候，關注較多的是教學三角形的其中兩個頂點——教師和學生，而對于第三個頂點——數學課程卻較少涉及.事實上，‘數學史融入數學教材’已成為HPM的重要課題.”

通過對現有文獻的研讀發現，針對高中數學必修教材中的數學史相關研究主要有：（1）對數學史融入高中數學教材的呈現方式及運用方式的研究和分析；（2）對數學史融入高中數學教材課程的理論探究和教學實踐探究；（3）對高中數學教材中某一知識點融入數學史的教學進行探究；（4）對現行教材中的數學史內容進行比較研究（包括我國教材之間及國內外教材之間的比較）.本文選取現行教材中的人教A版和北師大版高中數學必修教材，對其中的數學史內容進行對比研究，以期豐富第（4）類研究并從中得到一些建議和啟示.

二、高中數學必修教材中數學史內容的比較

1.兩版教材中數學史的內容分布

針對人教A版和北師大版高中數學教材，按照兩版必修1-5共十本教材中數學史內容的呈現章節、頁碼、位置、內容進行統計分析（見表1）.

表1 人教A版和北師大版高中數學必修教材中的數學史內容統計表

整體來看，人教A版必修五本教材中數學史內容共有42處，每冊出現的次數分別為5，9，16，3，9，平均每冊出現8.4次，必修3中出現的次數最多為16次，占數學史總量的38.1%.北師大版必修五本教材中數學史內容共有35處，每冊出現的次數分別為6，4，14，3，8，平均每冊出現7次，必修3中出現的次數最多有14處，占教材數學史總量的40.0%.具體情況見表2.因此，人教A版中的數學史內容多于北師大版教材中數學史內容，且都是必修3，即對應的“算法初步、統計與概率”模塊融入的數學史最多.

表2 人教A版和北師大版高中數學教材中的數學史按冊統計表

其次，兩版教材中數學史內容呈現的位置均是閱讀部分最多；在例題、習題及復習題中的數學史總量北師大版多于人教A版，可以看出北師大版更加注重數學史的應用；從數學史內容看，兩版教材都重視介紹核心概念的發展歷史和其中所體現的數學思想方法，例如，兩版教材中都介紹了“函數”這一核心概念的發展，都介紹了“解析幾何”涵蓋的直角坐標概念及它所體現出的數形結合的數學思想方法，都試圖通過對核心概念進行歷史介紹使學生提高學習興趣，這也是近年來數學教科書的編寫理念的重大轉變——越來越顧及學生的學習心理，也越來越注重構建學習過程.

2.兩版教材中兩處典型數學史內容比較分析

表1顯示人教A版和北師大版相同章節出現的相同數學史內容有7處，為“函數概念的發展、對數的發明（北師大版包含在“歷史上數學計算方面的三大發明”）、笛卡兒與解析幾何、劉徽割圓術、歷史上有人做過的擲硬幣試驗、海倫—秦九韶公式、趙爽弦圖”，但是呈現的內容和角度有差異.考慮到前文分析兩版教材閱讀部分呈現數學史最多，都注重對核心概念進行歷史介紹，且在算法章節中數學史最多，故選取兩版教材中典型的“對數的發明”、“劉徽割圓術”進行比較分析.

（1）“對數”是高中學習核心概念的一大重難點，對融入的“對數的發明”這一數學史內容進行比較分析.

人教A版呈現“對數的發明”路徑：

北師大版呈現“對數的發明（歷史上數學計算方面的三大發明）”路徑：

人教A版還原的內容詳細，敘述較完整，圖文并茂，便于讀者從歷史的角度了解對數的概念和發展，且最后提出啟示；北師大版教材不僅講述了對數，還介紹了另外兩個關于數字計算的發明.對比發現，人教A版更注重數學史的應用性，避免“為史而史”，更好地發揮了數學史作為閱讀材料的教育功能.北師大版給出了較為豐富的知識，強調歷史的傳承，但是史料內容都以文字敘述，且只是簡單羅列，未涉及更深層次的內容.近年來數學史融入數學教材正不斷從“史學形態”向“教育形態”轉化，其根本目的在于發揮數學史的教育功能，更好地服務于數學教學.故從教育價值出發，更加提倡使用人教A版注重學生數學理解的方式融入數學史.

（2）兩版教材“算法初步”章都出現了“劉徽割圓術”，對這一數學史內容進行比較分析.

人教A版呈現“劉徽割圓術”路徑：

北師大版呈現“劉徽割圓術”在習題中，短短一句“查閱中國古代數學家劉徽割圓術求圓面積的有關資料，使用語言描述這種算法”，沒有呈現的路徑.

圖1 人教A版“劉徽割圓術”

人教A版中的內容以“閱讀與思考”的形式出現，可以起到知識擴展的作用，讓讀者了解“割圓術”和我國古代在圓周率發現過程中所做出的貢獻，醒目地插入了作者圖像，并介紹他的偉大貢獻（如圖1左），不僅使學生意識到圓周率數值的來之不易，還可以讓他們從中感受我國學者的偉大，體會民族自豪感，并且將所學知識與現代信息技術相結合（如圖1），讓學生感受到現代信息技術的力量，且潛移默化數學建模核心素養；北師大版以習題的形式出現，和教學進行了接軌，可以使學生在課后進行知識擴展，結合所學進行思考，有利于學生進行思維的發散，對激發學生興趣有一定作用.

三、結論與啟示

以往對初中數學教材中的數學史研究中指出，應當豐富教材中數學史的呈現方式、注重教材中與概率和幾何相關的數學史內容還原、注重學情分析.這些結論對高中數學史內容的分析仍有借鑒的價值.義務教育階段更強調吸引學生、激發學生學習動機，引領學生學習，高中數學史的呈現不僅要顧及這些情感態度，更重要的是引發學生思考，體現一定的數學素養.本文對兩版高中數學教材中數學史內容的比較分析，得出以下結論與啟示.

（1）凸顯數學史的史學特征，充分發揮其教育價值.

據上文分析兩版教材的數學史內容，傾向于人教A版的融入模式，注重學生思考，注重在材料中為學生提出啟示，從“對數的發明”和“割圓術”的分析中更加突出.數學問題設置是數學史“史學形態”轉化為“教育形態”的“問題化”實踐路徑的策略之一.故在數學史融入教材過程中，應關注數學史料的縱向銜接來設置問題，注重數學思想的培養，充分發揮數學史的教育功能.

（2）利用數學史融入數學教材促進數學核心素養的落實.

新課標凝練的數學核心素養是高中數學課程的統領，數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析是數學思想的核心，是實現“立德樹人”目標的必要保障.故可以在呈現數學史時“借鑒古代數學家的思想與智慧，應用圖說一體、幾何模型和經典反例等實例來提高學生從直觀想象到推理論證和理解的能力，以逐漸培養學生的直觀想象素養”.如人教A版“劉徽割圓術”采用了文字與圖片相結合的方式，清晰陳列了割圓術的發現過程，可以有效培養學生直觀想象核心素養，其中還將數學史與現代信息技術相結合，體現了數學建模核心素養.因此，在數學教材中有效融入數學史可以培養和提高中學生的數學核心素養.