高中數學教材習題綜合難度研究*
——以人教A版“統計與概率”為例

☉廣西師范大學數學與統計學院 秦 樂

☉廣西師范大學數學與統計學院 周 瑩

一、問題提出

波利亞曾強調指出：“中學數學教學的首要任務就是加強解題訓練”、“掌握數學就是意味著善于解題”，這充分說明了習題在教學中的重要地位.教材習題是檢驗學生知識掌握程度與數學能力高低的主要手段，其數量、難度等特征在很大程度上體現并決定了數學課程的深度.新課程改革以后，我們國家增強了“統計與概率”部分的地位，將“統計與概率”作為與“數與代數”、“空間與圖形”同等重要的地位貫穿于數學教學的始終.因此，本文通過探究普通高中課程標準實驗教科書人教A版數學3（必修）“統計與概率”部分習題難度編制的一般性規律，以期為教師科學有效地分析并利用習題、提高數學教學的質量和效率提供參考與借鑒.

二、研究設計

（一）研究內容

選取普通高中課程標準實驗教科書人教A版數學3（必修）中“統計與概率”部分的習題（以下簡稱：教材）作為研究樣本，以修訂后的習題綜合難度模型為基礎，采用定量研究法對教材中習題的難度進行定量分析，通過對數據進行描述性統計和推斷性統計，以得到教材中習題難度的基本特征數據，從而對教材中的習題難度進行分析.

表2-1 修訂后數學習題難度因素中各等級水平劃分情況

（二）研究工具

本文將王建磐教授和鮑建生教授的修正版習題綜合難度模型和張怡改進版的模型相結合，最終采用結合后的模型對習題進行難度研究.

2002年—2014年期間，華東師范大學王建磐教授和鮑建生教授設計并不斷修正了“習題綜合難度模型”，修正后的習題難度因素分別為背景、數學認知、運算、推理和知識綜合.此后，有部分學者繼續對修正后的模型進行優化.例如：張怡在其論文《綜合難度系數模型在2016年高考數學試題評價中的應用》中，在原有五個難度因素的基礎上加入了“思維方向”因素（劃分為“順向思維”和“逆向思維”兩個等級水平），并把背景要素修訂成“有參數”與“無參數”兩種.

在研究教材習題難度的分析中，關注點更為集中于習題的背景、呈現方式以及學生的思維方向.因此，本文在五個難度因素的基礎上增加“思維方向”這個因素，采用修訂后的模型對習題進行難度研究.修訂后的模型中難度因素中各等級水平劃分情況詳見表2-1.

然后，利用下面的公式計算每組題目在每個因素上的加權平均：

di（i=1，2，3，4，5，6）依次代表的是“背景”、“數學認知”、“運算”、“推理”、“知識綜合”與“思維方向”之難度要素加權平均值；dij是第i個難度要素之第j個水平之權重；nij是代表該組題目里面歸屬第i個難度要素之第j個水平習題的數目，n是題目總數.

通過對教材中習題在六個難度要素下的分析來確定相應的等級水平，再借助等級權重，利用公式2-1求出題目中各個難度要素的加權平均值，進而獲得題目難度系數的六邊形模型.

三、習題難度的統計與分析

本文基于修訂后的模型對教材中的習題難度進行研究.以下隨機選取教材中的一道習題來說明利用此模型分析的步驟：

例 把紅、藍、黑、白4張紙牌隨機分給甲、乙、丙、丁4人，每人分得一張，事件“甲分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”是（ ）

A.對立事件 B.互斥但不對立事件

C.不可能事件 D.以上都不對

此題選自教材121頁練習題第5題（視為1道習題），它在模型中六個難度因素方面的等級水平分別是：個人生活、概念、無運算、簡單推理、兩個知識點、順向思維.

依據上述分析過程，對六個難度要素中的習題數量予以統計分析，見表3-1.

表3-1 教材中習題數量統計表

基于上面的數據，分別從以下六個方面：背景、數學認知、運算、推理、知識綜合以及思維方向，對教材中的每題都進行了統計分析，接下來再利用習題綜合難度模型對教材中的習題的綜合難度加以研究.

（一）背景因素

背景因素下的等級水平分為：無背景、個人生活、公共常識、科學情景.

圖3-1 背景因素中各等級水平習題所占比例

該數據表明，教材中的多數習題都在特別的情境下提出，對學生分析、解決問題的能力都提出了較高的要求，背景因素所反映的習題難度相對較高；但是無實際背景的習題依然占據一定的比例，說明教材中的習題重視考察基本知識的掌握情況；科學背景的習題最少，說明數學與科學文化知識聯系的不是十分緊密.

（二）數學認知因素

數學認知因素下的等級水平分為：操作、概念、領會-說明、分析-探究.

圖3-2 數學認知因素中各等級水平習題所占比例

經分析發現，在數學認知因素方面，屬于“概念”水平的習題所占比例超過50%，這是由于教材中的習題更注重培養學生對數學概念、定理等基礎知識的掌握，大部分習題都是教材內容的再現，考查學生對教材零碎知識的掌握情況.

（三）運算因素

運算因素下的等級水平分為：無運算、數值運算、簡單符號運算、復雜符號運算.

圖3-3 運算因素中各等級水平習題所占比例

在運算水平上對于習題的數值運算占的比重非常大，這說明在教材的編寫方面，習題的設置非常重視學生的基本計算能力的培養，體現出高中數學課程對數學基礎能力的重視.由于“統計與概率”部分出現的數據較多，因此屬于“簡單符號運算”和“復雜符號運算”的習題數量甚少.

（四）推理因素

推理因素下的等級水平分為：無推理、簡單推理、復雜推理.

圖3-4 推理因素中各等級水平習題所占比例

由數據可知，“無推理”的題目和含有“簡單推理”的題目所占比例大致相同，含有“復雜推理”的題目所占比例最少，這使教材中的習題在推理水平上的總體難度相對較低，側面反映出教材比較重視培養學生的簡單推理能力.

（五）知識綜合因素

知識綜合因素下的等級水平分為：單個知識點、兩個知識點、兩個以上知識點.

圖3-5 知識綜合因素中各等級水平習題所占比例

通過對數據的觀察，不難發現教材中以單個知識點的習題為主，從多個角度對某個知識點進行考查，即考查對知識的記憶程度，“知識堆砌”現象明顯，習題的“知識綜合”難度相對較小.

（六）思維方向因素

思維方向因素下的等級水平分為：順向思維、逆向思維.

圖3-6 思維方向因素中各等級水平習題所占比例

此數據說明“統計與概率”部分的習題以順向思維題目作為考查重點，學生能夠通過順向思維完成題目是學生熟練掌握基礎知識的重要表現之一，因此表明“統計與概率”部分的習題重視學生基礎知識的掌握情況.

四、習題綜合難度分析

根據六個難度因素對習題難度的等級水平進行劃分，但無法得出習題的總體難度.為應對該難題，依照表4-1內不同難度因素對應的加權平均值，即可得出習題總體難度的六邊形模型（如圖4-1所示）：

表4-1 各難度因素的加權平均值

圖4-1 教材中“統計與概率”習題綜合難度雷達圖

從上圖可以得出，教材中的習題在六個難度因素上不太平衡，較為明顯的是“思維方向”，教材里面的“統計與概率”部分的習題主要屬于順向思維題目，逆向思維題目較少，這表明教材側重考查同學們的基礎知識.總體而言，“背景”、“數學認知”和“運算能力”的綜合難度相對較高，“推理能力”、“知識綜合”和“思維方向”的綜合難度相對較低.

五、結論與思考

（一）結論

第一，習題背景設置“生硬化”.教材中的大部分習題以一定的背景作為基礎，雖然“個人生活”背景的習題占大多數，但教材中也出現了部分生硬編造習題背景的情況，特別是很多習題的背景與學生的學習內容沒有太多具體的關聯，甚至是脫離其生活實際，這樣為了編造而編造的問題情境不僅無益于學生更好地理解習題，而且容易妨礙到學生對于數學的認知.

第二，習題與知識點的聯系“碎片化”.教材中習題的編排側重于能夠更好地理解數學的概念性知識，且主要以涉及一個知識點的習題為主，體現出教材側重對學生“基礎知識”、“基本技能”的考查；“分析-探究”水平的習題以及含三個及以上知識點的習題所占的比例都較少，說明教材中習題的綜合性不是很強，這樣會導致學生對該章節的知識結構欠缺整體的把握.

第三，習題的思維方向和推理水平“單一化”，對習題的綜合難度的影響不是十分顯著.教材中需要“復雜推理”的習題占極少數，說明教材中的習題對學生的邏輯推理能力要求相對較低；其次教材中主要以“順向思維”水平的習題為主，說明順向思維是“統計與概率”部分習題考查的重點，但同時也說明了教材中的習題在“思維方向”上的難度系數略低.綜上表明，僅僅依賴于教材中的習題來培養學生的邏輯思維能力比較困難.

（二）教學建議

1.習題導向生活化，彰顯數學學科的應用價值

目前新課程標準改革后，更加重視習題背景的設計，因此，在教學過程中，教師應善于對教材中的習題背景進行彈性改造，在注重知識的邏輯關系的同時，尊重生活實際，充分體現數學與經濟、科技和現實生活的緊密聯系，一方面有助于激發學生的學習興趣和學習欲望，使學生充分體驗“學習對生活有用的數學”；另一方面，為學生解決現實中的數學問題提供知識背景與“腳手架”，有利于學生逐漸認識到數學的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值.

2.習題設置系統化，建立科學的學科知識體系

在教學過程中，教師需有意識地引導學生構建知識點之間的聯系，例如，教師可以著重在知識點的交匯處增設習題，并要求學生總結每道習題的知識點，尋找習題中的知識量與自己已有知識量之間的差異，以此方式來加強學生有效整合“碎片化”習題的意識，培養學生對知識體系的把握.此外，教師還可以利用“思維導圖”等方式幫助學生建立數學學科的知識體系，增強知識點之間的聯系和銜接，從而增強學生對“統計與概率”部分知識點的整體把握.

3.習題變式梯度化，注重數學核心素養的落實

加強學生數學核心素養的培養是一個長期的過程.在“統計與概率”習題講解的過程中，教師應注重引導學生運用數學方法對數據進行整理、分析和推斷，以培養學生的數據分析能力.其次，在教學過程中，應基于數學核心素養實現習題再設計，將部分習題進行適當的梯度化變式，使學生逐漸學會有邏輯的思考問題，逐漸掌握邏輯推理的基本形式，同時，教師應著重傳授一些與數學學科相關的比較與分析、推理與判斷的方法與技巧，如歸納、演繹等邏輯思維方法，這樣有利于學生對數學的概括性知識進行梳理、整合與內化，進而達到發展學生數據分析、邏輯推理等核心素養的目標.