基于數學核心素養的課堂設計
——以直線與平面垂直的判定為例

☉江蘇省清河中學 王新明

《普通高中數學課程標準（2017年版）》明確指出：“數學學科素養是數學課程目標的集中體現，是具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態度與價值觀的綜合體現，是在數學學習和應用的過程中逐步形成和發展的.數學學科核心素養包括：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析.這些數學學科核心素養既相對獨立，又相互交融，共同組成了一個有機的整體.”由此可見，數學核心素養應該成為高中數學課程目標的基本體現，是學生個體終身發展以及社會需要的基本素質和必備品質.筆者認為，數學核心素養首先要落實到課堂教學設計上，從而讓課堂成為學生核心素養成長的土壤.本文以“直線與平面垂直的判定”新授課的教學設計為例，分享筆者的實踐與思考.

一、過渡語言的設計

如果將一節課比作成一場觀眾期待的春節聯歡晚會，那么課堂過渡語言就是晚會主持人的串詞.一節課常常有多個知識點，如何做到“無縫對接”，使得教學過程自然流暢，這是教學設計中必須要考慮的一個重要問題.在“直線與平面垂直的判定”這節課中，如何從直線與平面垂直的定義“直線與平面內任意一條直線垂直”過渡到直線與平面垂直的判定的探究，筆者在這節課中是這樣設計的：

我們知道直線與平面內任意一條直線垂直，則直線就與這個平面垂直.這是直線與平面垂直的定義，肯定可以作為直線與平面垂直的判定.但你覺得這樣去判斷，方不方便呢？不方便的地方在哪里？那么一個自然的想法就是：減少直線的條數.減少到幾條合適呢？

授課時發現，通過這幾句話的過渡，學生的積極性一下子就被調動了起來，探究直線與平面垂直的判定的熱情明顯高漲.

二、教學問題的設計

培養學生的數學核心素養，關鍵在于培養學生會思考.而思考當然是以問題為牽引，因此課堂設計常常要對關鍵性問題的提出進行斟酌.問題何時提？問題怎么提？問題提到什么程度？這些都是教師需要再三思量的.

在“直線與平面垂直的判定”一節中，筆者通過投影天安門城樓升國旗的背景，讓學生觀察旗桿與地面上的影子的關系，從而抽象地概括出線面垂直的定義.為了達到預期的課堂教學效果，筆者設計了如下三個問題，進而讓學生進行環環相扣的思考.

（1）在陽光的照射下，旗桿AB與它在地面上的影子互相垂直嗎？

（2）隨著太陽的移動，顯然影子也會跟著發生變化.請問：旗桿AB還與它的影子互相垂直嗎？（教師通過電腦動畫展示，旗桿AB始終與地面內過B的任意一條直線垂直，也就是旗桿AB始終與它的影子垂直）

（3）旗桿AB與地面內不經過B的直線也相互垂直嗎？為什么會這樣呢？

通過以上三個問題的設計與引導，學生很容易發現旗桿在與地面垂直的情況下，旗桿會與地面上的任何一條直線互相垂直，進而抽象地概括出了直線與平面垂直的定義，從而形成了本節課的核心概念.

數學抽象是六大數學核心素養之首，它是形成理性思維的重要基礎，反映了數學的本質特征，貫穿在數學的產生、發展和應用的過程中.通過高中數學課程的學習，學生能在情境中抽象出數學概念、命題、方法和體系，積累從具體到抽象的活動經驗.

通過上面問題的設計，能讓學生順利抽象出線面垂直這一核心概念，為了進一步鞏固這一概念，筆者又設計了如下兩個問題讓學生進行辨析.

（1）如圖1，直線l與平面α垂直嗎？（顯然不垂直，學生很容易找到一條直線與l不垂直）

（2）如圖2，平面α內能找到直線與l垂直嗎？能找到幾條呢？無數條可以嗎？

圖1

圖2

通過設計這兩個問題，讓學生從正反兩個方面來鞏固對線面垂直定義的掌握.盡管直線與平面內無數條直線都垂直，但直線與平面并不一定垂直.由此可見，直線與平面垂直定義中的“任意”不可以改為“無數”，同時也為進一步探索直線與平面垂直的判定定理做好鋪墊.

三、課堂探究的設計

課堂探究是指學生圍繞著某個數學問題自主探索、學習的過程.課堂探究是課堂設計中非常重要的環節，因為真正的數學教育應當是數學知識再發現的教育.為此，筆者選擇三角形折疊探究實驗，讓學生動手操作并確認線面垂直的判定定理.筆者緊扣判定定理所需的條件將折紙實驗分成如下三步，并設置了三個問題：

怎么折（明確垂直關系）、怎么展（明確兩相交直線）、怎么放（明確兩相交直線在平面內），然后讓學生自主探究直線與平面垂直的判定定理，鼓勵學生將上述探究所得的結論用數學語言表述出來，經討論后規范呈現.鑒于教材中沒有給予判定定理的證明方法，筆者借助定義讓學生加深對線面垂直的判定定理的認同感，培養其理性精神.有了前面圓錐的形成作為鋪墊，學生容易得到折痕AD與桌面內的任意一條過點D和不過點D的直線都垂直，從而與桌面垂直，最終完成定理的教學.

值得強調的是，引導學生歸納出線面垂直的判定定理之后，應及時告知學生這是用不完全歸納法得到的，嚴格來說是需要進行證明的.只是教材在這個地方沒有給出，在我們學習向量之后是可以進行證明的.這也恰恰說明了數學具有形式性和經驗性的雙重特點.正如波利亞所指出的：“一方面，數學是歐幾里得式的嚴謹科學，從這方面來看，數學像是一門嚴謹的演繹科學；但另一方面，數學像是一門試驗性的歸納科學.”我們要讓學生在學習數學的過程中認識到數學的這兩個方面的特點，既強調抽象歸納，又重視演繹推理.

總之，課堂探究的設計是一門高深的學問.它不僅僅是探究實驗或問題本身的設計，還包括對其呈現方式、利用方式、實驗預設、連鎖反應、推廣應用等一系列的問題的探究.

四、題組變式的設計

著名的數學家陳省身先生說過：“數學的確好玩，它就像一個花園，你在外面看看也許不起眼，可是你一旦走進去就會發現那是一個奇妙而美麗的世界.”高中數學課堂如果在教師的精心設計下，如水乳交融一般，則讓學生有更多體驗成功的機會和平臺，從而使學生的思維變得更加活躍.數學課堂可以充分發揮問題變式，形式上可以是“一題多變”、“多題一變”、“一題多用”、“多題一用”等.關鍵是要能突出知識之間的內在聯系，能有效地完成教學目標.在“直線與平面垂直”的判定一節中，筆者給出了一組變式題目：

例題 如圖3所示，在三棱椎V-ABC中，VA=VC，AB=BC，K是AC的中點.求證：AC⊥平面VKB.

圖3

圖4

變式：（1）在三棱椎V-ABC中，VA=VC，AB=BC.求證：VB⊥AC.

（2）如圖4所示，若E、F分別是AB、BC的中點，試判斷EF與平面VKB的位置關系.

（3）在（2）的條件下，有同學說“因為VB⊥AC，VB⊥EF，所以VB⊥平面ABC”，這種說法對嗎？

例題主要考查的是直線與平面垂直的判定定理的應用，變式（1）在原題的基礎上，考查了直線與平面垂直的定義；變式（2）是對課本例題的靈活應用；變式（3）進一步鞏固了直線與平面垂直的判定定理.三個變式環環相扣，都強化了本節課的主要內容，突出了知識之間的內在聯系，同時又使得各個要點之間融會貫通，從而圓滿地達成了課堂教學目標.

俗話所說：“活到老，學到老”.在新課程的背景下，教師要善于拓展自己的教學方式，激發學生的學習興趣，從而真正提升學生的核心素養.