產生橢圓或雙曲線的各種方式

呂榮春　郭愛平

摘要：本文結合新課標高中數學人教A版選修2-1和高考題總結了橢圓和雙曲線產生的多種方式，理解這些產生的方式有助于更全面的認識圓錐曲線，也有助于高效的解題.

關鍵詞：雙曲線;幾何意義;圓

2 圓中中垂線和半徑的交點

例2如圖1，已知圓0的半徑為定長r，圓內一點A與圓上點P連線的中垂線與半徑OP相交于點Q，若點P在圓上運動，則點Q的軌跡方程是什么？

解析 由題知|QO|+|QA|=|QO|+|QP|=r>|OA|.則Q的軌跡方程是以O，A為焦點的橢圓.

變式1 （2013年陜西文）已知動點M（x，y）到直線l：x=4的距離是它到點N（1，0）的距離的2倍，求動點M的軌跡C的方程.

變式2 已知動圓P過定點F（O，1），且與定直線y= -1相切.則動圓圓心P的軌跡W的方程為____.

變式3（2014年福建文）已知曲線Г上的點M到點F（O，1）的距離比它到直線y= -3的距離小2.求曲線，的方程.

變式4 （2014年湖北）在平面直角坐標系xOy中，點M到點F（1，0）的距離比它到y軸的距離多1.記點M的軌跡為C.求軌跡C的方程.

注 變式4與變式3的區別在于點M可以在直線的兩側.

變式3 （2010年北京）在平面直角坐標系xOy中，點B與點A（-1，1）關于原點0對稱，P是動點，且直線AP與BP的斜率之積等于一1/3.求動點P的軌跡方程;

變式4 （2011年湖北）平面內與兩定點A1（-a，0），A2（a，0）（a>0）連線的斜率之積等于非零常數m的點的軌跡，加上A1、A2兩點所成的曲線G可以是圓、橢圓或雙曲線，求曲線C的方程，并討論G的形狀與m值得關系，

變式3 （2012年湖北）設A是單位圓x²+y²=1上的任意一點，Z是過點A與x軸垂直的直線，D是直線l與x軸的交點，點M在直線l上，且滿足| DM|=m|DA|（m>0且m≠1）.當點A在圓上運動時，記點膨的軌跡為曲線C.求曲線C的方程，判斷曲線C為何種圓錐曲線，并求其焦點坐標.7用平面去截圓柱

例7（2008年浙江卷理）如圖5，AB是平面a的斜線段，A為斜足，若點P在平面a內運動，使得AABP的面積為定值，則動點P的軌跡是（ ）.

A.圓

B.橢圓

C.一條直線

D.兩條平行直線

解析 由AABP面積為定值且AB不變知點P到直線AB的距離不變.

在空間中到定直線等于定長的點的軌跡為圓柱.

圖中點P的軌跡可以視為用平面a去截一個斜放的圓柱，截面為橢圓.

變式（2013年天津）設B，C是定點，且都不在平面π上，動點A在平面百上且sin∠4BC=1/2，那么點A的軌跡是（ ）.

A.圓或橢圓

B.拋物線或雙曲線

C.橢圓或雙曲線 D.以上皆有可能

8 其他方式

例8（2013年陜西）已知動圓過定點A（4，0），且在y軸上截得弦MN的長為8，求動圓圓心的軌跡C的方程.

參考文獻：

[1]呂榮春.全國卷高考數學分析及應對[M].成都：四川大學出版社，2018.

[2]呂榮春.解析幾何的系統性突破[M].成都：電子科技大學出版社，2017.