直線交圓并不難，勾股關系來幫忙

吳志鵬　陳玉蘭

摘要：本文通過舉例說明利用圓內勾股關系解有關直線的斜率，直線的方程以及圓的圓心半徑、弦長、周長、面積、最值等問題的方法.

關鍵詞：直線;圓;相交;勾股關系

直線與圓相交，涉及到直線以及圓的有關知識，而聯系這兩個知識則是弦心距、半弦長以及圓的半徑所構成的直角三角形，用勾股關系可將幾何問題代數化，運用“數”研究“形”.用這樣的關系可解決包括直線的斜率、直線方程、圓的圓心、半徑、弦長、周長、面積、最值等問題.令弦心距為d，半弦長為m，圓的半徑為r，則有d²+m²=r²，本文把這樣的關系稱為圓內的勾股關系.

1 利用圓內勾股關系求與直線相關的內容

例1如圖1，在平面直角坐標系xOy中，已知以

評析 直線的斜率和坐標軸上的截距是直線方程的重要特征，利用圓內勾股關系，建立與斜率或截距相關的等量關系，轉化為方程進行求解，

評析 圓心和半徑是圓的關鍵特征，它確定了圓的大小和位置，半徑和圓心距都是圓內的勾股關系的構成要素，利用之即可有效解決圓的方程、圓心或半徑等相關內容.

評析 求弦長的方法比較多，可利用兩點間的距離公式、弦長公式和圓內勾股關系進行求解，但利圓內勾股關系求半弦長進而求得弦長，簡單方便能較大幅度地減少運算量，是求弦長的首選方法，

遷移 當直線與圓相交變成直線與圓相切，此時半徑、切線長以及圓外的點到圓心的線段仍能構成直角三角形，同樣可用勾股關系解決相關問題.

評析 當直線與圓相切時，此時相當于把過點P的圓的割線拉到與圓只有一個交點的極限位置，那么原來弦的中點和直線與圓的兩個交點就融合成一個點，此時圓心與弦的中點的連線變成了圓心與切點的連線，其垂直關系仍然存在，類似的勾股關系也是存在的.