求解概率問題的五大法寶

唐紹友

摘要：：概率是近幾年高考與自主招生考試中的重點內容，其求解方法比較難，特別是與排列組合、數列有關的概率問題及幾何概型顯得更有難度.本文總結了五個方面的思考策略：認真識別、發掘隱含、正難則反、精心構造、遞推轉化.

關鍵詞：認真識別;發掘隱舍;正難則反;精心構造;遞推轉化

概率是近幾年高考與自主招生考試中的重點內容，其求解方法比較難，特別是與排列組合、數列有關的概率問題及幾何概型顯得更有難度，所以對概率問題的常用求解方法有必要作一些總結.

1 認真識別

考試中的概率題型主要包括古典概型、幾何概型、互斥事件有一個發生的概率、獨立事件同時發生的概率（特別情形：π次獨立重復實驗中，事件A恰好

例2 某陶瓷廠準備燒制甲、乙、丙三件不同的工藝品，制作過程必須先后經過兩次燒制，當第一次燒制合格后方可進入第二次燒制，兩次燒制過程相互獨立，根據該廠現有的技術水平，經過第一次燒制后，甲、乙、丙三件產品合格的概率依次為0.5，0.6，0.4;經過第二次燒制后，甲、乙、丙三件產品合格的概率依次為0.6，0.5，0.75.經過前后兩次燒制后，合格工藝品的個數為ξ，求隨機變量ξ的分布列.

分析由于甲、乙、丙三件工藝品經兩次燒制后合格的概率都是0.3，且兩次燒制過程相互獨立，所以燒制三件工藝品可以視為三次獨立重復試驗，從而可以輕松獲解.

評析 解決本題的關鍵在于識別獨立重復試驗，否則，將會增大運算量.

2 發掘隱含

眾所周知，隱含條件在求解數學問題中非常重要，隱含條件是引人步入解答誤區的誘餌，在概率問題的解決過程中也是如此，特別是在分析事件的過程中，要密切關注事件的隱蔽性，注意當前事件的背后是否具有隱含的其他事件，這樣才能確保成功求解.

例3在一次抗洪搶險中，準備用射擊的方法引爆從河上游漂流而下的一只巨大汽油罐.已知只有5發子彈備用，且首次命中只能使汽油流出，再次命中才能引爆成功.每次射擊命中的概率都是2/3，每次命中與否互相獨立.

（1）求恰好射擊5次引爆油罐的概率;

（2）如果引爆或子彈打光則停止射擊，設射擊次數為ξ，求ξ的分布列及ξ的數學期望.

分析第（1）問中“恰好射擊5次引爆油罐”隱含了事件“前四次射擊中恰好命中一次”與事件“第五次命中”同時發生;第二問中ξ=5時，隱含條件較深層，必須認真發掘：

①“前四次都沒命中”與“第五次命中或沒命中”同時發生;②“前四次恰好命中一次”與“第五次命中或沒命中”同時發生.當隱含事件分析清楚之后，解答

3 正難則反

在求解概率問題中，如果問題的正面所對應的事件比較復雜時，就可以考慮先求其對立事件的概率，即可以用計算公式：P（A）=1一P（A）.

例4 從平行六面體的8個頂點中任取三個組成三角形，又從這些三角形中任取兩個，求這兩個三角形不共面的概率.

分析 若直接求兩個三角形不共面的概率，顯得較復雜，然而從反面角度先求其對立事件的概率，再利用P（A） =1 -P（A）求原事件的概率，顯得較簡單.

例5-位國王的鑄幣大臣在每箱100枚的硬幣中各摻入了一枚劣幣，國王懷疑大臣作弊，他用兩種方法來檢測.方法1：在10箱中各任意抽查一枚;方法2：在5箱中各任意抽查兩枚.國王用方法1、2能發現至少一枚劣幣的概率分別為p1和p2，試比較p1，p2的大小.

分析若直接求p1，p2，分類較復雜，而其反面特別簡單，“至少一枚劣幣”的反面是“全抽好幣”.

4 精心構造

在求解幾何概型中，構造技巧要求較高，常涉及到一維線段、二維區域、三維空間的構造，在構造時必須準確無誤，才能正確地求出概率.

例6 向面積為6的△ABC內任投一點P，求APBC的面積小于2的概率，

錯解 由于試驗的全部結果構成的區域是AABC，記APBC的面積小于2為事件A.

由此可見，構造區域時，一定要精心思考，是否與題設條件形成充要條件，否則將會出現錯誤.

例7在間隔時間T（T>2）內的任何瞬間，兩個信號等可能地進入收音機，若這兩個信號的間隔時間小于2，則收音機將受到干擾，求收音機受到干擾的概率.

分析 由于兩個信號等可能地進入收音機的時間都在（0，T）內變化，所以是二維變量問題，因此需構造二維區域求概率.

在求解幾何概型中，準確構造幾何圖形是關鍵，在構造幾何圖形之前，必須弄清變量維數，然后確定構造圖形的維數.

5 遞推轉化

當概率問題與數列有關時，可以思考建立數列模型求解，特別是事件A_n與A_n-1（n≥2，n∈N）各自發生的概率之間可以建立遞推公式時，一般可利用數列知識求其概率.從而將概率問題轉化為數列問題

例8甲、乙等4人相互傳球，第一次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者將球等可能地傳給另外3人中的任何1人.

（1）經過2次傳球后，球在甲、乙兩人手中的概率各是多少？

（2）經過n次傳球后，求球在甲手中的概率.

分析由于傳球1次、2次、…n次后，球在甲手中的概率依次構成了數列，所以求經過n次傳球后球在甲手中的概率，就轉化為求數列的通項公式，于是可通過數列的遞推公式求其通項.

例9 一種擲硬幣（質地均勻）走跳棋的游戲，棋盤上有第0，1，2，…，100，共101站.一枚棋子開始在0站，棋手每擲一次硬幣，棋子向前跳一次，若硬幣出現正面，則跳棋向前跳一站，若硬幣出現反面，則跳棋向前跳兩站，直至0棋子跳到第99站（獲勝）或者100站（失敗）時游戲結束.求玩該游戲獲勝的概率？

分析要求玩該游戲獲勝的概率，需求棋子跳到第99站的概率.因棋子跳到每一站的概率依次構成數列P1，P2，…，P_n，所以需求P99.可以先求通項P_n，再求P99.

解設棋子跳到n站的概率為P_n，棋子跳到n站，包括兩個互斥事件構成：（1）由第n-l站跳到n站;（2）由第n-2站跳到n站，