高考“函數基本性質”專題分析

楊小兵　胡丹

摘要：本文以2018年全國高考試題為載體，分析了函數基本性質考題分布情況，并對典型題型進行解析.

關鍵詞：函數;基本性質;專題分析

克萊因曾說：“函數是數學的靈魂.”函數貫穿整個高中是學習的重點，同時也是高考的重點、熱點和難點[l].高中的函數類型有常值函數、指數函數、對數函數、冪函數、三角函數（反三角函數）、抽象函數.高中范圍內對函數的本質可理解為：取值集合為“非空集合”，對應時要求“單值對應”[2].大部分高中學生對函數的理解不夠深刻，也不知道該從哪些方面去理解和學習函數，其實高考對函數的考查可以給我們一定的方向.本文以近年的高考函數基本性質的典型題型為例，表明應從函數的圖象、單調性、奇偶性、周期性、對稱性、有界性、凹凸性等方面來理解和學習函數.

1 函數在高中數學中的地位

1.1 函數在教材中的位置

函數編排在人教A版必修1的第一章，承接初中函數概念中的“變量說”定義域存在局限，進而在高中函數概念中通過集合語言建立“對應說”彌補這個局限性[2]，為后面學習指數函數、對數函數、冪函數等奠定了基礎.函數是描述客觀世界變化的基本模型，貫穿整個高中學習，函數思想滲透到數學學習的方方面面.

1.2 新課程標準對函數的要求

在新課標中，強調通過豐富的實例，利用集合與對應的語言來刻畫函數;強調從實際背景和定義兩個方面對函數本質的理解;強調通過具體的函數理解函數的單調性，了解函數的奇偶性，學會運用函數圖象理解和研究函數的性質[3].

1.3 函數在2018年高考試題中的地位

通過對2018年高考函數基本性質考題分布情況的統計，全國卷有3 -6道考題，分值比重占全卷的21.3%;天津卷有3-5道考題，分值比重占全卷18%;浙江卷有4道考題左右，分值比重占全卷18%;江蘇卷有4道考題左右，分值比重占全卷18%.全國各個地方對函數的性質的考查大致相同，但是各有側重，總的分值并無較大變化，且以簡單題和中檔題為主，考查學生對函數本質的理解和函數“基本性質”的綜合運用，對函數的圖象、單調性、奇偶性、周期性、凹凸性、考查較多.

1.4 考題分布情況

評注 例1屬于直接對函數圖象進行考查，給出函數的解析式，判斷函數圖象，第一步先判斷函數為奇函數或者偶函數，若為奇函數，圖象關于原點對稱，若為偶函數，圖象關于y軸對稱;第二步帶特殊點進行驗證，若需要判斷函數圖象的單調性，則需要求導數判斷.例2是對函數圖象的間接考查，如求解分段函數參數范圍、函數的零點、線性規劃等問題往往也需要畫出函數圖象幫助分析，使問題更為直觀，數離不開形，形離不開數，其中滲透著數形結合的思想.

評注 利用求導，判斷函數在定義域上的單調性，進而求得答案，在利用換元法時一定要注意“換元必換限”.還有一類函數的表達式比較復雜，若直接進行計算，計算量非常大，不具有可行性，最主要觀察函數是否具有奇偶性、周期性，并計算函數的導數，結合函數的單調性將比較函數轉化為其自變量絕對值大小的比較，例：若已知函數的表達式，且f（x）為偶函數，求f（cx）≥f（ ax+b）成立的x的取值范圍，則可轉化為|cx|>|ax+b|.

評注 利用三角函數的有界性（|sinx|≤1，|cosx|≤1）求函數值域、最值、證明不等式有著非常重要的作用.利用三角換元t= sinx（XER），則t∈[ -1，1]，也是利用三角函數有界性的常用手法.

2.7 函數凹凸性型

參考文獻：

[1]趙思林.初等代數[M].北京：科學出版社，2017.

[2]李袆，函數概念的本質與定義方式探究[J].數學教育學報，2013，22（6）：5 -8.

[3]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.