馬氏環境中樹指標馬氏鏈隨機轉移概率調和平均的強極限性質

石志巖,鮑 丹,吳佰慧

(江蘇大學理學院,江蘇鎮江212013)

1 引言

若t 為T 中的任一頂點,記|t|為頂點t 到根o 的距離.若|t|=n,稱t 位于樹的第n 層.記T(n)表示從根o 到第n 層所有頂點的子圖,Ln表示第n 層所有頂點的集合,表示含有T 的從m 層到n 層所有頂點的集合.對于任一個頂點t,從根o 到頂點t 的路徑上存在唯一一個離頂點t 最近的頂點稱為t 的父代,記為1t,且稱t 為1t的子代.令XS={Xt,t ∈S},S ?T,xS為XS的實現,且記|S|為S 中頂點的個數.如果樹圖T 的根頂點有N 個相鄰頂點,而其它頂點有N+1 個相鄰頂點,即T 的每個頂點都有N 個子代,則稱此樹為Cayley樹,記為TC,N(見圖1).

樹指標隨機過程是新興的概率論研究方向.Benjamini 和Peres[1]給出了樹指標馬氏鏈的定義并研究了其常返性和射線常返性;陳曉雪和楊衛國[2]等研究了樹指標馬氏鏈的等價定義;Berger 和葉中行[3]研究了齊次樹圖上平穩隨機場熵率的存在性;葉中行和Berger[4,5]利用Pemantle 在文獻[6]中的結果及組合方法,在依概率收斂意義下研究了齊次樹圖上PPG不變和遍歷隨機場的Shannon-McMillan 定理;楊衛國和劉文[7]研究了齊次樹圖上馬氏鏈場(這實際上是樹指標馬氏鏈和PPG 不變隨機場的特殊情形)狀態發生頻率的強大數定律.近年來,楊衛國[8,9]研究了樹上馬氏鏈的強大數定律和漸近均分割性;黃輝林和楊衛國[10]研究了一致有界樹上馬氏鏈的強大數定律和Shannon-McMillian 定理;石志巖和楊衛國[11]研究了樹上非齊次馬氏鏈隨機轉移概率調和平均的強極限性質;王豹等[12]研究了Cayley 樹指標可列馬氏鏈的強大數定律;黨慧等[13]給出了離散狀態下二叉樹上非齊次分支馬氏鏈的定義,并研究其等價性及存在性,同時研究了有限狀態下二叉樹上非齊次分支馬氏鏈的強大數定理和熵遍歷定理.

隨機環境中馬氏鏈的研究已有相當長的歷史. Nawrotzki[14,15]建立了該主題的一般理論;Cogburn[16?18]構造了Hopf-鏈,利用Hopf-鏈理論深入研究了平穩環境中馬氏鏈的遍歷理論、中心極限定理、直接收斂和轉移函數的周期性關系以及不變概率測度的存在性;胡迪鶴[19,20]對連續時間參數的隨機環境中的馬氏過程的存在性、等價性、q-過程的存在唯一性進行了研究;李應求[21,22]利用完善的鞅差理論來研究隨機環境中的馬氏鏈,在假設馬氏雙鏈遍歷的條件下,得到了馬氏環境中馬氏鏈的強大數定律成立的充分條件以及馬氏環境中若干強極限定理;石志巖等[23]給出了離散狀態下隨機環境中樹指標馬氏鏈的定義,并證明了該定義在概率空間中可以實現;黃輝林[24]研究了有限i.i.d.隨機環境下齊次樹指標馬氏鏈的強大數定律和Shannon-McMillian 定理.

本文首先給出離散狀態下隨機環境中樹指標馬氏鏈的定義,并且證明了該定義在概率空間中可以實現,給出了馬氏環境下樹指標馬氏鏈與樹指標馬氏雙鏈的等價定義,該部分重述了文獻[23]中的一些結果.最后研究了有限狀態下馬氏環境中樹指標馬氏鏈的隨機轉移概率調和平均的強極限性質.

2 基本概念

設Θ={0,1,2,···},χ={0,1,2,···}為可列狀態空間,ξT={ξt,t ∈T}和XT={Xt,t ∈T}分別是(?,F,P)上取值于Θ 和χ 的隨機變量族.假定pθ={p(θ;x),x ∈χ},θ ∈Θ 是關于參數θ 的一個分布,且Pθ={p(θ;x,y),x,y ∈χ},θ ∈Θ 是定義在χ2上的關于參數θ 的一個轉移矩陣.

定義1[2]設T 為一樹圖,χ={0,1,2,···}是可列狀態空間,{Xt,t ∈T}是定義在概率空間(?,F,P)上在χ 中取值的樹指標變量族.設p={p(x),x ∈χ}是χ 上一概率分布,P={p(x,y),x,y ∈χ}是定義在χ2上的轉移矩陣.如果?t ∈T,?n ≥1,有

且

則稱{Xt,t ∈T}為具有初始分布p 與轉移矩陣P 在χ 中取值的樹指標馬氏鏈.

注1文獻[2]介紹了樹指標馬氏鏈的各種等價定義,定義1 僅僅是其中的一種形式,對于其他的定義形式,讀者可參閱文獻[2].

生物學家研究桿狀菌的分裂時,總結出桿狀菌分裂的規律,即一個桿狀菌在分裂時,從中間斷開,這樣就分裂成兩個新桿狀菌,這兩個新的桿狀菌為原來桿狀菌的后代.如果我們把每一次分裂中的桿狀菌看成一個頂點,那么桿狀菌的分裂過程就可以抽象為一個二叉樹結構(分支馬氏鏈)(見文獻[25]).如果桿狀菌分裂時受到周邊環境的影響,這樣桿狀菌的分裂過程就可以抽象為一個隨機環境中二叉樹模型,因此研究隨機環境中樹指標過程不僅具有理論意義,更具有應用價值.類似于定義1 中的樹指標馬氏鏈的定義,結合隨機環境中馬氏鏈的定義,給出隨機環境中樹指標馬氏鏈的定義.

定義2[23]設T 為樹,XT={Xt,t ∈T},ξT={ξt,t ∈T}分別在χ,Θ 中取值的隨機變量族.設pθ={p(θ;x),x ∈χ},θ ∈Θ 是χ 上一含參數的分布,Pθ={p(θ;x,y),x,y ∈χ},θ ∈Θ是定義在χ2上的含參數的轉移矩陣.若

則稱(XT,ξT)為由含參數的分布pθ與含參數的轉移矩陣Pθ確定的隨機環境中樹指標馬氏鏈,其中ξT為隨機環境.若ξT為樹指標馬氏鏈,稱(XT,ξT)為馬氏環境中樹指標馬氏鏈.

注2當ξT取常數時,隨機環境中樹指標馬氏鏈就是一般樹指標馬氏鏈.如果樹的每一頂點只有一個子代,則隨機環境中樹指標馬氏鏈即為隨機環境中馬氏鏈.因此隨機環境中樹指標馬氏鏈是樹指標馬氏鏈和隨機環境中馬氏鏈的推廣.

引理1[23](XT,ξT)為定義2 定義的由含參數的分布pθ與含參數的轉移矩陣Pθ確定的隨機環境中的樹指標馬氏鏈的充要條件是

(i)

(ii)當k ≥n ?1 時,

引理2[23]引理1 中(5)和(6)式成立的充要條件是

注3設為中所有有限維柱集生成的σ-代數.定義上隨機

注4若ξT為初始分布為p'(θ),轉移矩陣族為Kt=(Kt(θ,a))的非齊次樹指標馬氏鏈.由(7)式和定義1 知

若令Qt(x,θ;y,a)=p(θ;x,y)Kt(θ,a),q(θo,xo)=p(θo;xo)p'(θo),則

由此可知馬氏環境下樹指標馬氏鏈與樹指標非齊次馬氏雙鏈是等價的.此時,(XT,ξT)為初始分布為q(θo,xo),轉移矩陣族為{Qt(x,θ;y,a),t ∈T}的樹指標非齊次馬氏雙鏈.

以后總假定ξT是馬氏環境,則(XT,ξT)是具有初始分布為q(θo,xo),轉移矩陣族為Qt={Qt(x,θ;y,a),t ∈T}的樹指標非齊次馬氏雙鏈.在下節中,將給出有限狀態下馬氏環境中樹指標馬氏鏈的隨機轉移概率的調和平均的極限性質.

3 主要結果

引理3[24]設(XT,ξT)為馬氏環境中的樹指標馬氏鏈,{gt(x,θ;y,α),t ∈T}是定義在(χ×Θ)2上的函數族.令Lo={o},Fn=σ(XT(n),ξT(n)),

其中λ 為實數,則{tn(λ,ω),Fn,n ≥1}是非負鞅.

定理1設χ={1,2,···,M},Θ={1,2,···,N},且ξT的初始分布為p'(θ),轉移概率族為Kt={Kt(θ,α),t ∈T}.設(XT,ξT)為馬氏環境中的樹指標馬氏鏈,其初始分布和轉移概率族滿足

令

若存在常數h>0,使得

則隨機轉移概率{Qt(X1t,ξ1t;Xt,ξt),t ∈T(n){o}}的調和平均a.e.收斂于,即

注5假設?t ∈T,,此時

因此等式(12)是可以實現的.

證在引理3 中令gt(x,θ;y,α)=Qt(x,θ;y,α)?1,則由引理3 知

為非負鞅,由Doob 鞅收斂定理得

故

由式(14)和(16)得

易知當0<λ<1 時有

當0<λ

令λ →0+,由式(20)有

當?h<λ<0 時,將式(18)兩邊同除以λ 并利用式(11),(12)與(19)得

令λ →0?,由式(22)有

由式(21)與(23)即可以知式(13)成立.