矩形軸向有界磁場均勻變化時激發的渦旋電場的電場線方程

姜付錦 郎 軍

(1. 湖北省武漢市黃陂區第一中學，湖北 武漢 430300; 2. 重慶市第十一中學校，重慶 400061)

1 提出問題

矩形軸向有界磁場隨時間變化時,在周圍產生的感生電場是怎樣分布的呢?目前普遍認為,感生電場線是橢圓或圓,[1]可是,這個結論是嚴格的還是近似的,精度有多高?為此,筆者計算了矩形有界磁場的感生電場,寫出了感生電場線的方程,最后運用Maple數值模擬出了渦旋電場線的分布,發現了其感生電場線不是標準的橢圓或圓．

2 研究方法

圖1

2.1 計算渦旋電場強度的方法[1-4]

(1)

(1)式是對邊界內、外的區域都統一成立的式子．

2.2 渦旋電場線方程的推導

(2)

(2)式是對邊界內、外區域都適用的電場線方程．這也表明,邊界內、外的電場線方程在形式上是可以統一的．原則上,電場線方程可由(2)式確定,但這個積分式太復雜,連Maple軟件都無法計算．

對整個渦旋電場,一般不能引入標量勢,但對于對邊界外的區域,由于渦旋電場強度的旋度處處為0(×E≡0),類似磁場在無電流分布的區域可以引入磁標勢一樣,我們也可以引入標量勢φ,可得E=-φ,即根據解析函數的實部函數和虛部函數對應曲線簇在空間處處正交的性質，若將φ作為解析函數的實部,通過構造一個解析函數而求虛部E,即得電場線方程．

設電場線方程為E(x,y)=C，由柯西——黎曼方程有

所以

(3)

E(x,y)=C可以表示邊界外部區域的電場線的方程．

對于磁場邊界以內的區域,雖然渦旋電場強度的旋度不為0,不能引入標量勢描述,但正如前述分析,由于邊界內、外的電場線方程是可以統一的,且用柯西——黎曼方程得到的電場線方程是未經簡化的最一般的形式,因此E(x,y)=C也實際上可以表示邊界內部的電場線方程．

設磁場的邊界為-a≤x≤a,-b≤y≤b,則(1)式的積分變為

Ex(x,y)=

Ey(x,y)=

2.3 電場線方程的解析式

由于表達式過于復雜,為了研究問題的方便不妨設a=2,b=1,用Maple軟件計算得兩個方向上的分電場強度為

其中A1=ln(x2+y2+4x+2y+5),A2=ln(x2+y2+4x-2y+5),A3=ln(x2+y2-4x+2y+5),A4=ln(x2+y2-4x-2y+5).

得電場線方程為

上式中C為某一待定的常數．由此可見電場線方程異常復雜,不可能轉化為標準的圓和橢圓．根據得到的電場線方程,借助Maple計算,還可以發現在邊界外的區域有

即滿足拉普拉斯方程,通過對(1)式的分析表明,電場線方程式是對邊界內、外的區域都統一成立的．

3 數值模擬

根據電場線方程,用Maple軟件繪出了邊界內、外的渦旋電場線分布(圖2-圖5),與文獻[7]得到的結果一致．需要說明的是,從電場線方程的表達式可以看出,4條邊界是奇異點區域,導致Maple只能分別繪制邊界內、外的電場線．

3.1 正方形邊界(a=b=1,k=2π)

圖2及圖3外邊框中心處粗線的邊框表示正方形邊界,圖2是正方形邊界外部的感生電場線分布圖,圖3是正方形邊界內部的感生電場線分布圖,可以看出它們像圓,但是由解析式可知它們都不是圓．

圖2

圖3

3.2 長方形邊界(a=2,b=1,k=2π)

圖中虛線的邊框表示長方形邊界,圖4是長方形邊界外部的感生電場線分布圖,圖5是長方形內部的感生電場線分布圖,可以看出它們很像橢圓,但是由解析式可知它們都不是．

圖4 長方形邊界內部的感生電場分布

圖5 長方形邊界外部的感生電場分布

4 小結

通過以上的研究可以發現,邊界內部與外部的電場線方程是可以統一的,對邊界外部由柯西——黎曼方程得出的電場線方程的解析式對邊界內部也適用．當磁場邊界為矩形時,渦旋電場線方程不是標準橢圓．若邊界是其它形狀的,運用本文中方法也可以研究,限于文章的篇幅本文不再贅述．