變中抓不變 助推初中數(shù)學課堂深入本質

陳立順

我們知道，雖然初中生的抽象思維已占主導地位，但其仍然是屬于經(jīng)驗型的，因此初中數(shù)學課堂教學應堅持具體與抽象相結合的原則，教師要善于創(chuàng)設合理的情境，以激發(fā)學生的興趣，并幫助學生合理生成和理解知識。然而，我們也看到，由于過度地依賴情境和活動，數(shù)學課堂中“去數(shù)學化”的現(xiàn)象卻很嚴重.那么如何根據(jù)情境，促使學生更合理地進行歸納猜想、推理論證，從而不斷將數(shù)學課堂推向深入，以更順利地解決問題呢？其中“變中抓不變”就是一種很有效的策略和方法。下面筆者就結合平時的教學談一些想法和做法。

一、變中抓不變?讓概念抽象因凸顯本質而易于生成

抽象是人類從現(xiàn)實進入到數(shù)學的內心活動，它是從許多事物中舍棄個別的、非本質屬性，得到共同的、本質屬性的思維過程。這個過程既要關注研究對象的共性，又要關注研究對象與其它事物之間的差異，這個過程也可以理解為是一個變中抓不變的過程。變化的是研究對象及其之間的差異，不變的是研究對象之間的共性。在這個過程中，教師要善于引導學生進行科學地觀察，合理地歸納和猜想。

愛因斯坦曾說：“理論決定著你能觀察到什么”。在概念教學時，如果學生心中擁有“變中抓不變”的思想，那么當教師將一些典型素材呈現(xiàn)給學生時，學生就能有意識地去觀察分析這些對象的共性和差異，從而觸摸到概念的本質，為概念的生成和理解奠定基礎。例如，函數(shù)概念是初中數(shù)學的一個難點，若能用變中抓不變的思想來生成，可較容易地突破。教師先向學生呈現(xiàn)一個我國人口從1949至2011年變化的統(tǒng)計表，同時呈現(xiàn)一個人口理論計算公式和變化折線圖，讓學生分析我國人口變化趨勢，并讓學生預測10年、20年后我國將有的人口情況，以供國家領導決策，接著教師提出一個觸及函數(shù)本質屬性的問題：當兩個變量具有什么樣的關系時，才能實現(xiàn)由一個變量來唯一確定另一個變量的目的。在說明上面三個例子中兩個變量均能夠實現(xiàn)上述目的后，再列舉一些生活中分別用圖象、表格及等式表示兩個變量對應關系的例子（正反例都有），讓學生分析其共性和差異，從而合理抽象出函數(shù)的概念。這樣教學，就能使函數(shù)概念的本質得到用變中抓不變思想來揭示概念，變化的是對象和它們的差異，不變的是不同對象的共性，也即概念的本質特征，教師要善于創(chuàng)設便于學生進行概念本質抽象的情境。

二、變中抓不變?讓命題教學因緊扣本質而深入開展

命題是數(shù)學最基本的表達方式之一。中學數(shù)學命題教學的基本要求是：使學生深刻理解數(shù)學命題的意義，明確其推導過程和適用范圍，具備靈活運用數(shù)學命題解決問題能力。命題的教學過程主要靠推理完成。在這個過程中，若能運用變中抓不變的思想，就能使命題教學緊扣本質而深入開展。我們知道，教材上展現(xiàn)在學生面前的定理、公式等都是經(jīng)過千錘百煉完美無缺的，它略去了曲折復雜的發(fā)現(xiàn)過程。教師在教學時，應根據(jù)這些定理、公式的本質特征，去構建“再發(fā)現(xiàn)”、“再創(chuàng)造”的情景，以培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)新、歸納、猜想和推理的能力。可如何構建“再發(fā)現(xiàn)”、“再創(chuàng)造”的情景，對教師是一個挑戰(zhàn)。此時，教師若能利用變中抓不變的思想來設計，就可以收到意想不到的效果。例如三角形內角和定理的再發(fā)現(xiàn)，教師可創(chuàng)設這樣的情境，用幾何畫板在屏幕上畫出△ABC，然后固定頂點B和C，拖動點A，讓學生觀察△ABC各內角的變化，體驗有些角變大就必然有些角要變小的現(xiàn)象，體驗三角形的角之間是存在某種神秘關系的。由于學生小學已知道三角形內角和等于180度的事實，所以當教師問及三角形三個內角有什么關系時，學生基本會回答出答案。但教師要去追問，當初世界上第一個發(fā)現(xiàn)此事實的人如何發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律的？當學生困惑時，教師接著啟發(fā)：我們知道，世界上第一個發(fā)現(xiàn)三角形內角和定理的人（泰勒斯）是通過拼圖發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律的，今天我們要通過另一條途徑來發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律：現(xiàn)在我們讓點A沿著一條與BC平行的直線上運動，看看三角形的角有什么不變的關系？這一“變中有不變”的情境創(chuàng)設，不僅能使學生

“再發(fā)現(xiàn)”三角形內角和定理的事實。而且還能從中獲得該定理的證法。在教學中，運用變中抓不變思想，不僅有利于發(fā)現(xiàn)一些正確的結論，還經(jīng)常能辨析出一些錯誤的結論，如數(shù)學中有些靜態(tài)的圖形中。兩條看似相等的線段其實是無法證明相等的，這時可讓圖形動起來，動到一個比較特殊的位置，再觀察兩條線段的長短變化，這時往往結論就躍然紙上了。

命題的證明是命題教學的重要方面。教師要讓學生分清命題的條件和結論及其之間的因果關系，這是本質。在證明命題時，教師要善于用變中抓不變的思想理解和應用條件，因為題目呈現(xiàn)在學生面前的除了已知條件外，往往還伴隨有其它必然或偶然的隱含條件，教師要關于引導學生去排除一些或然條件的干擾，讓學生集中精力朝正確方向找到一些必然的隱含條件，從而較快地形成證明思路。如圓周角定理的證明是初中教學的一個難點，對教材中證明過程為什么要分三種情況討論學生更是不理解。當教師創(chuàng)設情境，讓學生發(fā)現(xiàn)“圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半”的事實后，教師可這樣啟發(fā)學生探索其證明方法，在圓中，一條弧對著一個圓心角和無數(shù)個圓周角，也就是說圓周角的頂點是可以變化的，但不管位置如何變，這個結論始終是成立的，那么作為圓上的任意一點，它所隱含的必然結論有哪些？從這里能不能找到證明的突破口呢？這樣啟發(fā)，學生自然就想到要連接半徑了，因為半徑處處相等，于是問題就轉化為證明學生熟悉的等腰三角形中與其頂角相鄰的外角與其底角之間兩倍的關系的問題了。當學生證出一種情況后，教師要順勢啟發(fā)，這樣證明有漏洞嗎？接著教師可借助多媒體演示，讓圓周角的頂點繼續(xù)在弧上運動，讓學生自主分析第一種情況的證法能否代表其它情況的證明，最后通過學生自主合作探究完成證明。

定理、法則的應用也是命題教學的必要環(huán)節(jié)。只有通過應用，學生才能深刻理解并掌握定理或法則。心理學研究證明，若知識在單一的背景下重復和應用，那么只會形成僵化的知識，情境一變，學生就不會了。因此，教師在定理、法則教學后一定要讓其在不同情境中得到應用，讓學生去體驗那變中不變的規(guī)律。如學過相似三角形的判定定理后，教師可實行“一題多變”，將相似三角形的判定與雙曲線、拋物線、特殊四邊形及圓等知識進行組合，通過知識的不同組合來加深對知識的理解。

三、變中抓不變?讓問題解決因回歸本質而精準突破

數(shù)學模型是數(shù)學與外部世界聯(lián)系的橋梁，在數(shù)學建模的過程中，一些非本質的，對反映客觀事實影響不大的東西已被去掉，只留下本質的東西及其聯(lián)系。因此模型能夠適應變化。教師在引導學生解決問題時，要讓學生樹立變中抓不變的思想，要善于引導學生去弄通情景，把實際問題轉化成數(shù)學問題，要善于抓住不變的本質特征，去尋找或構造模型。當找不到數(shù)學模型解決時，也要善于用變的觀點換個角度看問題，如運用數(shù)形結合將代數(shù)領域問題映射到幾何領域中去解決等等。如下例，若能用變中抓不變的思想來思考，就很容易找到模型加以突破。

已知，在平面直角坐標系中，平行四邊形ABCD的坐標分別為A（-1，0）、B（0，2）、C（3，2）、D（2，0），點P是AD邊上的一個動點，若點A關于BP的對稱點為A'，試求A'C的最小值。

分析 這個問題一些學生可能會想到用三角形兩邊之差小于第三邊的模型來思考。但若能用變中抓不變的思想來分析，則更易理解和突破。由BA′=BA=5

可知，當點P在AD上運動變化時，點A′也在運動，但不變的是點A′是在以B為圓心，以5為半徑的圓弧上運動的，這樣就很容易想到當A′點落在邊BC與⊙B的交點時A′C最小，往從而可求得A′C最小值為3-5。

總之，變中抓不變是一個帶有哲學意義的思想方法，它應該貫穿于整個數(shù)學教學的過程中，因為利用它，可以使透過現(xiàn)象看到本質，讓錯綜復雜的問題得以破解，從而也讓我們的課堂教學更加“數(shù)學化”，更加地深入本質，最終讓我們學生的數(shù)學思維和素養(yǎng)得到根本的提升。

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（作者單位：江山市城南中學）