高中數學函數解題思路及方法的總結分享

孫浩楠

摘要：函數是高中數學學習的重點內容，也是每年高考必考知識點。由于函數知識點比較多，而且往往與圓錐曲線和一元二次方程結合在一起，綜合性比較強，一定程度上增加了解題的難度，讓很多我們無從下手，影響到數學考試分數。通過分析高中數學函數解題思路，并采用科學的解題方法，可以降低函數解答難度，提高函數解答的速度和正確率。本文主要分析高中數學函數定義，并根據高中函數定義，分析了高中數學函數解題思路，以及常見的變量替換法、最值法、數形結合等方法，有助于我們開拓思維，快速掌握函數的解題方法。

關鍵詞：高中函數 ? 解題思路 ? 解題方法

數學在高中階段主要的學習科目之一，函數在高中數學占有重要地位。高中函數是初中函數知識點的延伸和擴展，學習的知識內容更加深刻，函數變量關系更復雜，出現了多個變量，增加了學習難度，讓我們產生學習壓力。受到傳統思維的影響，我們在解答函數問題的時候，往往采取常用的解答方式，不僅增加了計算量，而且由于計算量增加，很熱容易導致計算錯誤，最終導致整個答案的錯誤。因此，在解答函數題目的時候，需要轉變解題思路，采用一些簡便的方式，才能提高解題效率和正確率。

一、高中數學函數定義

高中數學函數包括一次函數、二次函數、指數函數、冪函數、反比例函數等眾多類型的函數。函數的定義：A、B是兩個非空集數，如果按照某個確定的對應關系f，讓集合中的A中任意一個x在集合B中都有唯一確認的數f（x）和它對應，則f是A集合到B集合的函數，即為y=f（x），其中x∈A，x是自變量，其取值范圍A是函數y=f（x）的定義域，與x值相對應的y值表示函數值。函數根據函數定義，在學習的時候就要掌握兩個變量的關系。在解答函數的時候，我們對函數的定義和函數內涵理解不全面，從而導致解題思路錯誤，最終求得錯誤的答案。因此在解答函數問題的基礎是全面掌握函數的基本定義和內涵，這樣才能避免出現基礎錯誤。

二、高中數學函數解題思路總結

（一）發散數學思維

數學是一門邏輯性強、抽象性比較強的學科。數學公式、數學概念、定義內容比較多，對我們的要求比較高。我們往往需要了解相關概念、定理，對數學概念熟悉以后，才能解答數學題目。數學課本上往往會列舉經典類型題目，并列舉解題步驟，讓我們進一步加深了解。因此，遇到同一類型的題目，往往根據課本上所列舉的方法解答題目，答題思路比較單一，有的時候遇到復雜類的題目，按照教材的方法計算量比較大。因此，在學習數學的時候，我們要發散思維，并靈活運用數學定理、公式。根據題目的實際情況，采取相應的解題方法。例如求

。這是常見的閾值解答方法，遇到這類題目的時候，可以利用函數的單調性進行解答， ? ? ? ? ? ? ? ? ? 在（0，1上單調遞減），在 ? ? ? ? ?上單調遞增，所以x=1，f（x）取最小值，所以f（x）的值域是 ? ? ? ? 。第二種方法可以快速得到答案。在解題的時候，除了常規解題思路之外，還要經常動腦，轉換思路、發散思維，找到一些快速簡單的方法。

（二）培養創新思維

由于高中數學函數的內容比較多、涵蓋范圍非常廣，函數往往還會與其他知識點聯系在一起，題目的綜合性、應用性比較強，我們解答起來非常吃力，遇到這類題目的時候，往往束手無策。因此，在學習的時候，我們平時培養自己的創新思維，進行自主探索，開拓思路，避開常規解題思路。比如學習不等式的時候，常見的解題方法有三種：第一種將不等式拆解成兩個部分，最后得出結果;第二種是將不等式進行變換，將影響結果的部分去除，得到最終結果;第三種方法是利用絕對值去求值。一次在學習函數的時候，我們要善于開動腦筋，自己探索一些新的解題思路和方法，通過這樣的方式，不僅有利于更好地理解函數的定義和內涵，而且有助于記憶。在解答問題的時候，可以采用逆向思維，擺脫固有的思維，打破過去的經驗和僵化的思維模式，從而得到意想不到的結果。

三、高中數學函數解答方法

（一）數形結合

數形結合是按照數和形存在的對應關系，利用代數關系、幾何圖形的轉換解決問題。數和形是數學的基礎，將其應用在函數解題思路中，形可以通過數確定屬性，這種方式稱之為“以數解形”;或者通過數形所具備的幾何特點解釋兩者的關系，這種解題方式稱之為“以形解數”。數形結合是利用數和形兩者的對應關系，將抽象的數學問題轉變為直觀的幾何問題，讓函數問題變得簡單明了。將函數題目中的已知條件表達在圖像內，對圖像進行分析，從而快速解決函數問題。

總結：上述題目綜合運用了函數的基本不等式、正切、余弦等知識，并結合數形知識解決函數的閾值問題，可以將題目更加形象具體，提高解題速度和正確率。

（二）利用最值求解

根據函數定義域，可以在函數值域范圍內求得函數的最大值和最小值。二次函數 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，當α>0時，拋物線開口向上，則函數有最小值;當α<0時，則函數有最大值。函數 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 的區間（ ? ? ? ? ?）的最小值是g（t），求g（t）的值。

解題思路：根據已知條件 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，那么函數的最小值為-2，然后根據t的值，得到g（t）的值，g（t）有三種情況

當 ? ? ? ? ? ? ? 也就是 ? ? ? ? ? ? ，也就是g（t）=—2

在解答問題的時候，首先要理解出題者的意圖，二次函數的實數集合R上只有最大值或者最小值，如果定義域發生變化，則最大值和最小值也發生了變化。因此，在解答二次函數的時候，弄清楚題目的意思，然后根據題目的已知條件計算出最小值和最大值。

（三）變量代換法

函數中含有很多變量和未知條件，這些變量和未知條件給解題造成一定的障礙和困難，讓我們不知從何解題。遇到這類題目，必須轉換解題思路，將問題簡單化，在解題過程中引入新的變量，可以讓題目變得更加簡單，這就是變量代換法。通過變量代換法，可以發現題目中的隱藏條件，簡化解題思路。將變量代換法應用在角函數中，可以讓函數問題變得更加簡單。

例題： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，求（x）。

解題思路：根據二次函數的定義，題目中的（x+1）是x2-4x+1的象。解決這種題目有兩種方法：第一種方法是常用的方法，將x+1看成多項式，然后帶入到題目中得到

，然后求x的值，這種解題方法計算量比較大，在解答過程中，很容易計算錯誤，導致答案錯誤。采用變量代換法，將x+1=t，得到x=t-1，然后將其帶入函數中，可以得到

得到 ? ? ? ? ? ? ? ?，所以 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。

由于變量代換法的依附性很強，在不同的知識領域應用效果也不同，在處理一些復雜的不等式，采用變量代換法，簡化題目中的變量，降低解題難度，從而快速得到答案。

四、結語

函數是高中數學重要的學習內容，也是高考的熱點話題。由于函數包括的知識點比較多，在考試中往往和其他知識點結合起來，一定程度上增加了解題的難度。因此，日常學習過程中，我們在做題的時候，要不斷總結做題經驗，并發散思維，通過自己的努力，尋求新的解題方法，提高函數解題效率和正確率。

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（作者單位：山東省濟南市萊蕪第一中學58級1級部7班）