借助數學實驗工具 發展學生空間觀念①——數學實驗工具“水”立方的設計與運用

李 清 王曉峰

(1.江蘇省西安交通大學蘇州附屬初級中學 215021；2.江蘇省蘇州工業園區教師發展中心 215021)

空間想象力是以現實世界為背景，對幾何表象進行加工改造，創造新的形象的能力，空間想象力是數學諸多能力中的重要組成部分.空間觀念是對一個人周圍環境和實物的直接感知，對于二維與三維圖形及其性質的領會和感知，圖形之間的相互關系和變換圖形的效果是空間觀念的重要方面.空間觀念是發展空間想象力的基礎，是我國義務教育階段幾何課程的主要目標和數學核心素養之一，也是創新精神所需要的基本要素.

數學實驗是學生動手動腦，以“做”為支架的數學教與學的活動方式，是在教師引導下，學生運用有關工具，通過具體操作在認知和非認知因素參與下，進行的一種發現數學結論、理解數學知識、驗證數學結論的數學活動.借助數學實驗工具，可以改變學生學習的數學知識形態，改善學生的數學學習方式，促進學生數學核心素養的全面發展.

近年來，江蘇省初中數學實驗教學研究團隊一直致力于實驗工具的研發工作，“水”立方就是為發展學生的空間觀念而設計的數學實驗專用工具.利用“水”立方，筆者在江蘇省第八屆數學實驗專題研討會上執教了《“水”立方——探索正方體截面的形狀》一課，取得了較好的教學效果，獲得了與會專家們和老師們的高度肯定.

1 實驗工具“水”立方的思考與設計

正方體是生活中最常見的圖形，也是最基本的幾何體，是初中階段學生經常接觸和認識的一種幾何體.有研究表明，三維圖形與二維圖形的相互轉換是培養學生空間觀念的主要途徑.“正方體被平面所截的截面可能的形狀”就是一個典型的三維圖形與二維圖形相互轉換的問題，因此，切截正方體是初中階段培養和發展學生空間觀念的一個較好的載體.

傳統的實驗工具都是用蘿卜、橡皮泥等制成實物模型代替正方體，但在實際操作時會受到很多因素的制約，影響教學的效果.如正方體模型的材料要不易切割、耗材較大、切截的技術要求高，用刀切截時存在安全隱患等等.基于此，實驗工具“水”立方應運而生，它主要有以下幾個優點：(1)截面一定是平面；(2)可重復使用，無損耗；(3)無技術要求，能夠讓研究過程直指目標；(4)操作簡單、快捷、安全.“水”立方實驗工具的水面相當于截面，調整其擺放方式，水面就可以從不同的角度與正方體的面相交，從而觀察出截面的形狀.

考慮到用一種水量并不能截出所有的截面形狀(三角形、四邊形、五邊形、六邊形)，因此通過計算及實驗，設計了兩個“水”立方：水量少的1號“水”立方可以截出三角形、四邊形、五邊形，如圖1；水量多的2號“水”立方可以截出四邊形、五邊形、六邊形，如圖2.在對1號“水”立方進行操作后，可以引發學生“增加水量是否會出現六邊形”的思考，在對2號“水”立方進行操作后，可以引發學生“增加水量是否會出現七邊形”的思考.

圖1 圖2

2 《“水”立方——探索正方體截面的形狀》教學設計與實錄

2.1 引入

(1)播放視頻：世界上最大的鉆石“非洲之星”的設計、加工過程.

教師：開場白，播放視頻.

學生活動：觀看視頻.如圖3，圖4，圖5.

圖3 圖4 圖5

解說詞：世界上最大的鉆石原石叫“庫利南”，是1905年在南非的一座礦山中被發現的，它重達621克.后來“庫利南”被交給當時歐洲最頂級的寶石工匠約瑟夫阿什進行分割，這個有名的工匠花了幾個星期來觀察、研究這塊原石.還按它的大小和形狀造了一個玻璃模型進行試驗，歷經6個月才最終成功將它分割.又歷經8個月，原石被打磨成9顆大鉆石和96顆小鉆石，其中最大的一顆重達530.2克拉，被稱為“非洲之星”.它有74個刻面，是世界上最大的切割鉆石.它被鑲在英國女王的權杖上，目前價值超過20億美元.

教師：“非洲之星”經過了怎樣的加工過程？

學生：觀察、想象、實驗、切割、打磨.

教師：好，今天我們就來研究如何切割鉆石.

【設計意圖】本環節的目的是通過視頻介紹鉆石“非洲之星”的加工過程，以鉆石切割為研究線索，引導學生感受本課學習的必然性與必要性，體現本課的學習價值.

(2)提出問題：將已經加工成正方體形狀的鉆石原石進行切割，只切一刀，切割面會是怎樣的形狀？

教師：用數學的眼光來看，這個問題就是“探索正方體截面的形狀”.(板書：探索正方體截面的形狀.)

①認識正方體形狀特征

教師：在切割鉆石原石之前，需要先觀察研究原石的形狀特點，然后再根據這些特點設計切割面.

思考：正方體具有怎樣的形狀特征？

學生活動：觀察、描述.

特征1：8個頂點、12條棱、6個面.

特征2：1個頂點處有3條棱、3個面.

特征3：12條棱都相等，互相垂直或平行.6個面都相同，互相垂直或平行.

特征4：棱與棱相交之處是頂點(線與線相交得點)、面與面相交之處是棱(面與面相交得線).

【設計意圖】本環節的目的是通過鉆石切割，引出本課的研究主題.利用鉆石加工的必要過程——切割前先觀察鉆石原石的形狀特征，讓學生感受到在切割正方體之前，先對正方體的形狀特征加以認識是必要的，合情合理而又自然.同時，認識正方體的形狀特征，也是為了對即將展開的探索活動中的相關發現進行說理做必要的引導和鋪墊.

②認識“水”立方

教師：了解了正方體形狀特征，我們就可以來設計正方體鉆石原石的切割面了.

思考：正方體的截面會是怎樣的形狀？

學生活動：觀察、操作、演示.

觀察猜測：三角形、四邊形、五邊形、六邊形等.

實物操作：學生利用提供的正方體實物進行切割.

演示解釋：當有學生切出截面時，由該學生進行演示切割方法，并解釋.

教師：這位同學已經切出了一種截面.但是，如果這個正方體實物就是一顆鉆石原石，你還敢輕易地對它進行切割嗎？(不敢！)為什么不敢？(帶有破壞性)那該怎么辦？(做個替代物)那就讓我們先做個替代物進行嘗試——“水”立方.(板書：“水”立方，完整呈現本課課題：“水”立方——探索正方體截面的形狀.)

教師介紹“水”立方及使用方法：觀察“水”立方，可以把水面當成正方體的截面，通過調節“水”立方的擺放方式，就能得到正方體截面的不同形狀.

【設計意圖】本環節的目的是先通過對正方體實物嘗試進行切割，讓學生感受直接對實物切割將會帶有破壞性，會存在巨大的風險，從而引導學生感受設計替代工具“水”立方的必要性.

2.2 探索

活動1：利用“水”立方探索正方體的截面形狀.

教師：用“水”立方切割出你想象的截面，并將你的發現記錄在實驗記錄單上.

學生活動：小組合作，操作發現，思考分析，展示發現的正方體截面形狀.(可能會有遺漏的情況.)

思考1：為什么截面會出現這些形狀?

思考2：對于正方體截面的形狀你還有怎樣的想法?

學生可能的想法1：是否還有遺漏的截面形狀？

學生可能的想法2：截面是否能為七邊形？

學生可能的想法3：正方體截面是否能為特殊的形狀？

……

思考3：從圖6的位置開始，你能利用2號“水”立方依次截出四邊形、五邊形、六邊形形狀的截面嗎？

學生活動：操作、演示、解釋.如圖7，圖8，圖9.

說明：“思考1”和“思考2”學生先提出哪一個，就先處理哪一個，具體順序由課堂實際情況決定.“思考3”作為活動2進行處理.

圖6 圖7 圖8 圖9

【設計意圖】本環節的目的是通過觀察想象提出猜想、動手操作進行驗證、推理分析獲得發現、運用結論解決問題，讓學生經歷完整的數學探究過程.在看一看、猜一猜、做一做、想一想、說一說的過程中，引導學生發現和提出問題、分析和解決問題，學會如何“透過現象看清本質”，給學生提供了想象空間，學生產生、形成了數學活動經驗，發展了空間觀念，提高了推理能力.

活動2：利用“水”立方探索正方體截面形狀的特殊性.

教師：為了使切割成的鉆石更加地美觀，切割師還會考慮入光線的折射問題等問題，這就需要對鉆石切割面的形狀有進一步要求.(介紹兩種鉆石切割的方式，如圖10，圖11.)

圖10 圖11

思考1：正方體截面可以是特殊的三角形嗎？(等腰三角形，等邊三角形，但截不出直角三角形、鈍角三角形.)

思考2：截面除了是正方形外，還可能是其他特殊的四邊形嗎？(矩形、平行四邊形、菱形、梯形、等腰梯形等.)

思考3：當截面為四邊形時，這些四邊形是否具有共同的特征？(至少有1組對邊互相平行.)如果有，請說明原因.(至少有1組面互相平行.)

思考4：當截面為五邊形呢？(2組對邊互相平行.)

思考5：當截面為六邊形呢？(3組對邊互相平行.)

學生活動：思考、操作、發現、分析、說理.

【設計意圖】本環節的目的是通過對正方體截面形狀的進一步探索，引導學生在想一想、做一做的過程中提高發現問題和提出問題的意識，在做一做、說一說的過程中提高分析和解決問題的能力，學生積累了數學活動經驗，發展了空間觀念.分析說理的過程，又加深了學生對正方體的認識，提高了推理能力.同時，活動1和活動2，又能夠讓學生感受一般到特殊的數學研究的途徑與方法，積累圖形研究的經驗.

活動3：利用“水”立方探索切割后所得幾何體特征.

教師：鉆石原石經過切割后，剩下的余料當然也要盡可能利用起來，將其重新加工成小的鉆石.那么，正方體切割后，余下部分(液體部分)是怎樣的幾何體？

思考1：當截面為三角形時，余下的部分會是怎樣的幾何體？

思考2：當截面為四邊形時，余下的部分又會是怎樣的幾何體？

思考3：這些截面為四邊形的幾何體是否具有共同的特征？如果有，請說明原因.

思考4：當截面為五邊形時呢？

思考5：當截面為六邊形時呢？

學生活動：思考、操作、發現、分析、說理.

【設計意圖】本環節的目的一是關注對數學思維能力的培養，感受互逆的數學研究的途徑與方法.活動1、活動2是“由體到面”，活動3是“由面到體”，構成了兩個互逆的探究過程，在這個過程中體現了對正向思維與逆向思維的數學思維培養，促進了數學活動經驗的累積與疊加；二是為活動4做好了準備，活動4是通過活動1、活動2所獲得、積累的經驗的應用，活動3與活動4又形成了自然銜接.

活動4：三棱錐的截面會是怎樣的形狀？

教師：通過對剛才幾個問題的研究，同學們體驗了學會觀察、學會操作、學會思考的數學學習方法，也積累了研究幾何體截面問題的經驗，下面我們就運用所學到的知識與方法再去分析、解決與鉆石切割有關的問題.

思考：三棱錐形狀的鉆石原石切一刀，截面會是怎樣的形狀？(觀察由活動3得到的三棱錐，幾何畫板中呈現圖形，如圖12.)

圖12

學生活動：觀察、思考、發現、解釋.

欣賞：利用幾何畫板進行多步切割，演示成為“鉆石”的過程后，欣賞世界上著名的幾顆鉆石.如圖13，圖14，圖15.

圖13 圖14 圖15

教師：鉆石切割是多面體截面在實際生活中的一個應用，類似于這樣的應用在生活中還有很多，你能舉出這方面的例子嗎？

【設計意圖】本環節的設計目的是通過觀察、分析三棱錐截面的形狀，對幾何體截面的研究方法的掌握情況進行評價，再次感受本課的學習價值，同時在運用經驗分析和解決問題的過程中，促進了數學活動經驗的再次累積與疊加.

2.3 總結

本節課研究了正方體截面的形狀問題，在探索的過程中，我們學會了動手操作、動腦思考的數學學習方法，知道要透過現象看清事物的本質.請大家課后繼續探索常見的如球體、圓柱體、圓錐體、棱錐體的等幾何體的截面問題，鞏固今天的所學.

一顆鉆石原石看起來并不起眼，但經過精心設計、精準切割、精致打磨，就會成為璀璨奪目、煜煜生輝的精美鉆石.鉆石切割也是人類追求完美的過程，但呈現這種完美的機會只有一次！

3 一些思考

數學實驗是學生利用實驗工具進行觀察想象、操作驗證、推理證明的數學活動，借助數學實驗工具，學生可以親身體驗、感悟幾何圖形的抽象、運動與變化，這與《義務教育數學課程標準(2011年版)》提出的“空間觀念的目標的達成是一個包括觀察、想象、比較、綜合、抽象分析的過程”具有高度的一致性.因此，數學實驗工具有助于培養學生的空間想象力，借助數學實驗工具可以有效發展學生的空間觀念.

3.1 利用數學實驗工具，可以提供發展空間觀念所需要的豐富的現實情境

空間觀念的形成基于對事物的觀察與想象，現實世界中的物體及其關系是學生們觀察的最好材料，學生已有的經驗是觀察、想象、分析的基礎，教學中結合學生們熟悉的現實問題情境是發展學生空間觀念的有效策略.初中階段，圖形的運動、幾何體的展開與折疊、幾何體的視圖、幾何體與用平面去截所得的截面等，都蘊涵著三維圖形與二維圖形的相互轉換，都是培養學生空間觀念的重要載體，為此，設計和利用專用實驗工具尤為必要.如，利用“線面體形成儀”可以探索點、線、面、體之間的關系，利用“多面體表面組件”可以探索多面體與其構成的表面間的關系，利用“小立方體套件”可以探索不同組合圖形的視圖關系，利用“‘水’立方”可以探索正方體截面的形狀.另外，學生身邊的物品，也能作為發展空間觀念的實驗工具，如紙張、橡皮、文具盒、直尺、三角板、量角器等，這些專用實驗工具和普通實驗工具都能為發展學生的空間觀念提供豐富的現實情境.

3.2 利用數學實驗工具，可以提供發展空間觀念所需要的觀察想象的空間

空間觀念的培養是一個長期的積累經驗、豐富想象力的過程.觀察與描述是發展空間觀念的基礎，想象與再現是更高層次的空間觀念的表現.借助實驗工具“水”立方，在活動1中，通過“由體到面”(三維到二維)，引導學生先想一想正方體截面可能的形狀，再操作“水”立方去做一做，然后看一看截面出現的形狀，把實際看到的和想象的進行比較，從而得出正確的結論.在活動2中，通過“由面到體”(二維到三維)，引導學生發現截面四邊形形狀的共同特征，再操作“水”立方去做一做，發現產生共同特征其中的原因.在活動3中，通過“由面到體”(二維到三維)，引導學生先想一想截得的幾何體的形狀，再操作“水”立方去做一做，發現截得的幾何體的形狀特征.在活動4中，通過“由體到面”(三維到二維)，引導學生想一想、說一說三棱錐截面的形狀.這樣，利用實驗工具“水”立方，在面與體相互交織的過程中，學生充分感受、體驗了三維圖形與二維圖形的相互轉換，學生把握面與體之間關系的能力得到了提高，形成、獲得、積累了想象的經驗，豐富了想象力.

3.3 利用數學實驗工具，可以提供發展空間觀念所需要的推理分析的機會

空間觀念的發展可以通過多種途徑實現，如生活經驗的回憶與再現、實物觀察與描述、拼擺與畫圖、折紙與展開等，但推理與分析是各種途徑中必要、也是最為重要的一個環節.《義務教育數學課程標準(2011年版)》指出：要盡可能地為學生提供觀察、操作、歸納、類比、猜測、證明的機會，發展學生的推理能力.具有一定的推理能力是培養學生數學素養的重要內容，也是數學課程和課堂教學的重要目標.活動1中，借助實驗工具“水”立方，學生先通過觀察與想象獲得對“正方體截面可能的形狀”的猜想，然后通過動手操作“水”立方驗證猜想，發現正方體截面的各種形狀，再通過動腦思考利用“截面多邊形的邊是截面與正方體的面的交線”加以證明，并依此解決了“截面是否能為七邊形？”的問題，同時也為活動4的探索積累了經驗.在活動2中，通過提出“對于正方體截面的形狀你還有怎樣的想法？”引導學生思考“截面是否能為特殊的形狀？”然后對截面三角形形狀的特殊性進行探索，再對得到的截面四邊形的形狀提出猜想“這些四邊形是否具有共同的特征？”通過觀察，發現這些四邊形的共同特征“至少有1組對邊平行”，再利用“正方體的四個面中至少有1組面互相平行”加以證明，并依此解決了“截面五邊形和截面六邊形的形狀特征”的問題，同時也為活動3的探索積累了經驗.這四個探索活動，都提供給了學生主動發現和提出問題、分析和解決問題的機會，在經歷合情推理獲得猜想、發現結論；演繹推理驗證猜想、證明結論的過程中，發展了推理能力.

借助數學實驗工具，可以讓學生經歷觀察想象、操作驗證、推理證明、獲得結論、應用結論解決問題的完整的數學學習過程，這樣的學習活動，不僅有利于“四基四能”目標的全面達成，對于提升學生的數學素養，引導學生學會用數學的眼光觀察世界、會用數學的思維思考世界、會用數學的語言表達世界，也將起到積極地推動作用.