幾個三角形不等式的再推廣

李永利

(河南質量工程職業學院 467001)

1 引言

在△ABC中，設∠A,∠B,∠C的對邊分別為a,b,c. 文[1]建立了如下三個三角形不等式：

(1)

(2)

(3)

文[2]另辟蹊徑，對以上三個不等式進行了指數推廣及其類似，得出如下四個定理：

定理1在△ABC中，設∠A,∠B,∠C的對邊分別為a,b,c，則當指數k≥1時，有

≥akcosA+bkcosB+ckcosC.

(4)

定理2在△ABC中，設∠A,∠B,∠C的對邊分別為a,b,c， 且指數k為正數，則有

(5)

定理3在△ABC中，設∠A,∠B,∠C的對邊分別為a,b,c，則指數k≥1時，有

(6)

定理4在△ABC中，設∠A,∠B,∠C的對邊分別為a,b,c， 且指數k為正數，則有

(7)

其中，不等式鏈(4)，(6)兩式中的第二個不等式，指數k均可放寬為正數.

受文[2]啟發，本文將對以上四個不等式鏈(4)，(5)，(6)，(7)式進行再推廣，得出更一般的結論.本文結論的證明方法同文[2].

2 結論及證明

≥f(a)cosA+f(b)cosB+f(c)cosC.

(8)

而由A≥B≥C可知A≥60°，C≤60°.

于是有

記(8)式第一個不等式左右兩端之差為M1，并注意到三角形不等式[1]58

則

≥0，

故(8)式中的第一個不等式成立.

下面再證(8)式中的第二不等式. 由該不等式的完全對稱性，不妨設A≥B≥C，則a≥b≥c.

下面證明f(x)也是(0,+∞)內的非負單增函數.

事實上，若設00.

于是

f(x2)-f(x1)

f(a)≥f(b)≥f(c)≥0.

而由A≥B≥C可知A≥60°，C≤60°.

于是有

記(8)式中第二個不等式左右兩端之差為N1，并注意到三角形不等式

則

故(8)式右端的不等式成立.

由以上證明可知不等式鏈(8)成立.

定理2′在△ABC中，設三內角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c，f(x)為(0,+∞)內的非負單增函數，則有

(9)

證明先證(9)式中第一個不等式.由該不等式的完全對稱性，不妨設A≥B≥C，則a≥b≥c，A≥60°，C≤60°，而f(x)為(0,+∞)內的非負單增函數，于是可得

記(9)式中第一個不等式左右兩端之差為M2，并注意到不等式

則

故(9)式中第一個不等式成立.

下面證明(9)式中的第二個不等式. 利用正弦、余弦的平方關系，將(9)式中第一個不等式中的正弦函數化為余弦函數，得

移項整理，即得(9)式中的第二個不等式.

由以上證明可知不等式鏈(9)成立.

定理3′在△ABC中，設三內角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c， 函數xf(x)為(0,+∞)內的非負單減函數，則有

f(a)cosA+f(b)cosB+f(c)cosC

(10)

證明先證(10)式中的第一個不等式.由該不等式的完全對稱性，不妨設A≥B≥C，則a≥b≥c，而xf(x)為(0,+∞)內的非負單減函數，于是可得

0≤af(a)≤bf(b)≤cf(c).

而由A≥B≥C可知A≥60°，C≤60°.

于是有

記(10)式中第一個不等式左右兩端之差為M3，并利用余弦定理可得

故(10)式中的第一個不等式成立.

下面再證(10)式的第二個不等式. 由該不等式的完全對稱性，不妨設A≥B≥C，則a≥b≥c.下面證明f(x)也是(0,+∞)內的非負單減函數.

事實上，若設0

故有x2f(x2)-x1f(x1)≤0，

于是

f(x2)-f(x1)

0≤f(a)≤f(b)≤f(c).

而由A≥B≥C可知A≥60°，C≤60°.

于是有

記(10)式第二個不等式左右兩端之差為N3，并注意到三角形不等式

則

故(10)式中的第二個不等式成立.

由以上證明可知不等式鏈(10)成立.

定理4′在△ABC中，設三內角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c，f(x)為(0,+∞)內的非負單減函數，則有

f(a)cos2A+f(b)cos2B+f(c)cos2C

(11)

證明先證(11)式的第一個不等式.

由該不等式的完全對稱性，不妨設A≥B≥C，則a≥b≥c，而f(x)為(0,+∞)內的非負單減函數，于是可得

0≤f(a)≤f(b)≤f(c).

而由A≥B≥C可知A≥60°，C≤60°.

以下分兩種情形進行證明：

情形1當60°≤A≤120°時，此時有

記(11)式中的第一個不等式左右兩端之差為M4，并注意到不等式

則

故此時(11)式中的第一個不等式成立.

情形2當120°

則此時顯然有

即此時(11)式中第一個不等式也成立.

由以上兩種情形的證明可知(11)式中的第一個不等式成立.

下面再證(11)式中的第二個不等式.

利用正弦、余弦的平方關系，將不等式(11)中的第一個不等式中的余弦函數化為正弦函數，得

移項整理，即得(11)式中的第二個不等式.

由以上證明可知不等式鏈(11)成立.

3 注記