由圓圍成兩個圓錐體積和的最大值的討論

趙 虹 王麗新

(長春師范大學數學學院 130032)

遇到這樣一個問題，在一個圓上剪去一個扇形做成一個正圓錐，發現剪去的扇形圓心角太大或太小時做成的圓錐體積都較小，那么一個很自然的問題是剪去的扇形圓心角多大時做成的圓錐體積最大？這個問題在中學教學過程中也是有可能被學生問到的問題，這個問題利用均值不等式或高中的導數知識不難解決，但余下的扇形也能做成一個圓錐，若問剪去的扇形圓心角多大時做成的兩個圓錐體積和最大，卻發現是一個稍復雜的問題.本文將對此進行討論.

由以上討論易知余下的扇形做成的圓錐的體積為

則這兩個圓錐的體積和為

V=V1+V2

下面討論函數

的最大值.

記1-x=y，則此函數的最大值轉化為求二元函數

在條件x+y=1下的最大值.

利用條件極值的拉格朗日(Lagrange)乘數法[1]，設

令

整理得

或

(1)式兩邊平方可整理為

9(x6-y6)-3(3x2y2+4)(x4-y4)+4(3x2y2+1)(x2-y2)=0，

(x-y)[9(x5+x4y+x3y2+x2y3+xy4+y5)-3(3x2y2+4)(x3+x2y+xy2+y3)+4(3x2y2+1)(x+y)]=0,

或

(x-y)[9(x4(x+y)+x2y2(x+y)+y4(x+y))-3(3x2y2+4)(x2(x+y)+y2(x+y))+4(3x2y2+1)(x+y)]=0,

注意到x+y=1，則上式可繼續化為

(x-y)(9(x4+x2y2+y4)-3(3x2y2+4)·(x2+y2)+4(3x2y2+1))=0，

又由x+y=1，則

x2+y2=(x+y)2-2xy=1-2xy,

x4+y4=(x2+y2)2-2x2y2

=1-4xy+4x2y2-2x2y2

=1-4xy+2x2y2.

(1)式可最終整理為

(x-y)(18x3y3+30x2y2-12xy+1)=0，

則x-y=0或18x3y3+30x2y2-12xy+1=0.

又

18x3y3+30x2y2-12xy+1=0

為關于xy的三次方程，利用三次方程的求根公式[2]得三個根為

由

舍去這個根，另兩個根和x+y=1聯合解得

(其中k1=(xy)1,k2=(xy)3.)

對應的

f(x1)=f(x2)

f(x3)=f(x4)

(2x-1)(18x6-54x5+24x4+42x3-42x2+12x-1)=0

注3若對一般的(圓)扇形(不一定為整個圓)，如何分成兩個或多個扇形使圍成的兩個或多個圓錐體積和最大，也是一個值得討論的問題.