核心素養視域下的“橢圓及其標準方程”的教學改進

羅德建 伍春蘭

(1.北京師范大學附屬中學 100052； 2.北京教育學院 100120)

《普通高中數學課程標準(2017年版)》指出：數學核心素養是數學課程目標的集中體現，是具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態度與價值觀的綜合體現，是在數學學習和應用的過程中逐步形成和發展的[1]. 可見，“學科核心素養”是集合概念，是從學生學習結果的角度界定未來社會所需要的人才的形象[2]. 因此，“核心素養”與“學科核心素養”落地，需要探尋有效的培育途徑和過程.

2018年10月，我們參加了京(北京)臺(臺灣)面向未來的基礎教育峰會，與來自臺灣的老師就“橢圓及其標準方程”同課異構. 通過備課、上課、評課及研討，我們基于核心素養的培養，對本節教學內容有了一些新的思考.

1 定義引入

人教A版、人教B版、北師大版和湖南教育版等不同版本的教材[3-6]對橢圓定義的引入大致相同，都在介紹了一些生活中的橢圓的例子的基礎上，通過細繩和鉛筆畫出橢圓，再總結畫圖過程中動點應滿足的幾何條件，進而給出橢圓的定義. 其中人教A版和北師大版教材在畫橢圓前先用繩子和鉛筆畫圓，體現了二者之間的聯系. 湖南教育版教材在前言中加入了“生活中的圓錐曲線”，以數學實驗的形式介紹生活中的圓錐曲線的例子，包括實驗內容和步驟、實驗結果、對實驗結果的分析. 在結果分析中，還介紹了將圓“壓扁”得到橢圓，并由此得到橢圓的方程.

我們以“橢圓及其標準方程”為主題，在中國知網搜索(截止到2019年2月)，一共有174條結果. 關于引出橢圓定義的教學，目前教師傾向的設計可歸納為四部曲：直觀感知—動手操作—動畫演示—概括定義，即先介紹生活中的橢圓的例子，再讓學生動手畫橢圓，接著用幾何畫板或GeoGebra動畫演示橢圓的形成過程，最后抽象出橢圓的定義.

在動手操作環節，常常設計成如下的系列活動.

活動1：取一條定長2a的細繩(無彈性)，將其兩端固定在圖板的同一點處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖一周，觀察筆尖的軌跡．

活動2：在活動1中，將細繩的兩端固定在圖板的兩個點(細繩松弛狀態)，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖一周，觀察筆尖的軌跡.

活動3：在活動2 中，當細繩兩端間的距離增大或縮小時，觀察筆尖的軌跡變化．

遞進的活動設計，對橢圓定義的概括是有啟發的. 但無論是教師展示、學生觀察，還是學生動手操作；無論是傳統媒體的繪制，還是現代信息技術的介入，事實上，這樣的設計學生思維的參與度并不高. 特別是為什么要用長度是2a的細繩，怎么想到由一固定點到兩固定點的“裂變”，學生很難體會. 為了擺脫“牽引”學生發現橢圓定義的所謂“自主探究”，一些教師嘗試改進.

1.1 折紙實驗[7]

在圓O內任取一點F(與點O不重合). 在圓周上任取一點N，將其與圓心O相連，得半徑ON. 折疊圓形紙片，使點N與點F重合，將折痕與半徑ON的交點記作M. 重復以上過程，得到若干交點，觀察交點形成的軌跡(如下圖).

折紙實驗讓學生活動起來了，不僅由此能抽象出橢圓的定義，還能發現折痕是橢圓的切線，進一步還可以研究橢圓的光學性質. 后續還可以折紙生成雙曲線、拋物線. 但是學生可能會質疑怎么想到要這樣折紙的，同時折紙實驗得到橢圓定義的過程對學生轉化和抽象的能力要求較高，學生在發現軌跡上點的共同特征時會遇到較大困難.

1.2 將圓壓扁

文獻[8]關注了學生可能會產生的疑問：怎么知道要取兩個定點，用一段繩子就能畫出橢圓？并從學生對橢圓的已有認識出發，發現將圓x2+y2=r2“壓扁”即進行伸縮變換就能得到橢圓. 在引出橢圓的幾何定義時，啟發學生對圓的定義作適當的修改，改變“在平面上”、“一個定點”，“距離等于定長”等條件，進而發現其中一種情形得到的動點軌跡就是橢圓.

這樣的設計使得學生的思維活躍了起來，在改變條件得到的眾多軌跡中找到了橢圓，也為未來研究其他相關的曲線埋下了伏筆. 但是，這些軌跡都由幾何畫板生成，缺乏學生動手操作、感知橢圓形成的環節. 此外，在將圓“壓扁”得到橢圓的方程后，并沒有體現出這個環節對于后續研究橢圓的作用.

1.3 問題引導

文獻[9]關注了橢圓情境的創設，讓學生進行課前探究，在完成如下問題1的基礎上，自己改變題目中的條件，探索動點軌跡及方程：

問題1：在平面內，已知定點F1,F2和動點M，若|MF1|=|MF2|，動點M的軌跡是什么？若|MF1|=2|MF2|，動點M的軌跡是什么？

接著，在課上從學生改變的幾何條件中選出“|MF1|+|MF2|=常數”，讓學生畫圖，發現得到的軌跡是橢圓，進而抽象出橢圓的定義.

這樣的設計讓學生經歷了發現橢圓定義的過程，拓展了學生的思維，也為將來研究雙曲線、拋物線奠定了基礎. 不過，由于問題1中事先給出了兩個定點、一個動點，學生并沒有經歷由一個定點、一個動點能畫出圓到兩個定點、一個動點畫出橢圓的思維過程，對于圓與橢圓的關系也沒有涉及.

1.4 圓到橢圓

我們在實施教學時，先將直立的圓柱形玻璃水杯傾斜，讓學生觀察水面的邊界的變化；接著，借用“橢”字的釋義(“長圓形”)，觸發學生思考：我們研究橢圓的定義(未知)不太容易，能否“以退為進”，由圓的發生定義(已知)怎樣改變條件得到橢圓？

進一步，教師提問：用一條繩子(無彈性)能畫出圓嗎？怎么畫？為什么？接著，讓學生2人一組嘗試畫出其他的圖形. 開放的情境，引發了學生思維的發散，預設的結果已基本實現. 有的學生發現，將繩子兩端不重合時，固定兩端，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，畫出的圖形呈現了我們印象中的“橢圓”的形狀；還有的學生發現雖然繩長一樣，但畫出的橢圓有的圓一些，有的扁一些. 有的學生還發現有時畫不出軌跡來；有時軌跡會是一條線段.

設計從學生已有的經驗出發，通過畫圖活動，“逼”學生改變條件畫出更多的圖形，從而發現橢圓的生成. 然后學生回顧畫圖活動，讓原來有思路的學生更有邏輯，原來無意畫出橢圓或沒想法也沒畫出橢圓的學生有了思考問題的入口點. 最后，學生用語言描述畫出的橢圓，逐步過渡到橢圓定義. 整個活動的設計，關注到學生的數學抽象和邏輯推理素養.

2 性質猜想

在得到橢圓的定義后，一般會讓學生自己建立平面直角坐標系，將橢圓的幾何定義坐標化，推導橢圓的方程. 我們在推導方程之前增加了一個環節，讓學生大膽猜想橢圓的幾何性質和方程. 這樣類比圓去研究橢圓，用圓的方程猜想橢圓的方程，讓學生厘清知識間的聯系，積累數學活動經驗，體會轉化的思想.

圓橢圓定義平面內到定點的距離等于常數的點的軌跡.平面內與兩定點F1,F2的距離的和等于常數(大于|F1F2|)的點的軌跡.圖形方程x2+y2=a2怎樣建系得到的橢圓方程可能會更簡單?請猜想橢圓方程的形式.幾何性質對稱性:關于圓心中心對稱、關于直徑所在直線軸對稱…橢圓可能具有什么樣的對稱性?

學生提出可以將圓“壓扁”得到橢圓，即對圓x2+y2=a2上的點的坐標進行伸縮變換，并由此猜想出橢圓方程可能具有的形式特征：二元二次方程，無xy、x、y項，x2、y2項的系數不相等.

我們知道，方程依賴于坐標系，所以自然希望能合理建系，使得方程通過化簡能變得盡可能簡單. 同時，在推導方程之前，我們并不知道橢圓的方程是什么樣子，但如果在合適的平面直角坐標系下還能猜想出橢圓方程的大致形式，那就為化簡整理提供了大方向. 這樣的設計加深了學生對橢圓與圓之間關系的認識，體現了用解析的方法研究曲線的一般思路，同時提升了學生的思維品質.

3 方程推導

對于橢圓標準方程的推導，人教A版、北師大版和湖南教育版教材都采用了“移項平方”的方法，在等式兩邊構造出大量相同項，消去后起到化簡的效果; 人教B版教材通過構造共軛無理數對去根號，這個方法很多學生不容易想到，但這樣做只需經歷一次平方，所以在驗證曲線方程定義時要容易一些. 其中，北師大版教材給出了對“以方程的解為坐標的點都在曲線上”的嚴格證明過程供學生參考，人教A版只說明了“以方程的解為坐標的點都在曲線上”是成立的，但未證明. 而人教B版和湖南教育版教材未提及此問題.

在橢圓標準方程推導的實際教學中，由于推導過程較長、運算量較大，很多教師常常采用直接講授，或者告知結論，將推導過程留為作業的方式. 這樣設計看似節省了課上時間，可以完成更多的練習，卻失去了提升學生思維水平和運算能力的契機.

在本節課中，我們鼓勵學生在認真分析方程特點的基礎上，自己推導橢圓的標準方程.因為有了前面猜想橢圓方程的鋪墊，學生已經能把握化簡整理的方向：需要通過平方去掉方程中的根號. 那么怎樣減少運算量？引導學生“三思而后行”. 多想常常就能少算，但少算不代表不算. 最后要讓學生自己完成方程的推導.

首先，向學生提出問題：回顧剛才畫圖的過程，大家可以大膽猜想，橢圓具有對稱性嗎？對稱中心在哪？(線段F1F2中點)對稱軸在哪？(直線F1F2、線段F1F2的中垂線)為了使推導出的方程比較簡單，應如何建系？(以直線F1F2為x軸，以線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系).

設焦距為2c(c>0)，則F1(-c,0),F2(c,0). 設M(x,y)為橢圓上任意一點，點M與點F1、F2的距離之和為2a(a>c>0)．點M滿足的幾何條件為：|MF1|+|MF2|=2a.

將幾何條件坐標化，得

顯然橢圓上任意一點M的坐標都是方程①的解；反過來，以方程①的解為坐標的點都在橢圓上，所以方程①就是橢圓的方程.

但方程①的形式非常復雜，距離我們的猜想還有一些距離，我們需要化簡方程.

對于方程的化簡過程，設計了以下幾個預案：

預案1：直接平方[10].

將方程①平方，得

平方，得

(x2+y2+c2)2-4c2x2

=4a2+(x2+y2+c2)2-4a2(x2+y2+c2)，

整理得

(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)，

因為a>c>0，所以a2-c2>0；

設a2-c2=b2，b>0，可得

預案2：移項平方[3].

預案3：通過共軛無理數對去根號[4].

預案4：聯系等差中項[11].

兩式平方后作差，得

再將上式兩邊平方、整理即可.

在課堂上，學生對橢圓標準方程的推導提出了多種算法. 我們應該提倡對同一問題的“算法多樣性”. 還課堂給學生，讓學生完整闡釋自己的想法，既尊重了學生的個性發展，又有助于提升學生獨立分析和解決問題并進行嚴謹的數學表達的能力. 在分享與交流中，可以讓更多學生關注每種算法是“怎樣想到的”，“如何實施”，“在實施的過程中需注意些什么”、“不同算法有什么優勢與劣勢”等問題，進而促進更多學生理性思維的發展，提升推理與運算的能力.

4 反思建議

4.1 史料滲透

圓錐曲線是滲透數學文化的一個很好的載體. 從歷史上看，以梅內克繆斯、阿波羅尼斯為代表的古希臘數學家從純幾何的角度研究了三種圓錐曲線，得到了很多幾何性質. 讓學生在課下自己制作圓錐，用平面截圓錐，發現和證明截痕上的點所滿足的幾何條件，聯系立體幾何與平面幾何，可以充分體會“幾何”的味道；讓學生了解圓錐曲線在天文、生活中的實際應用，在這個過程中感悟圓錐曲線的發展歷程，有利于開拓視野，培養科學精神.

橢圓是我們向學生系統介紹的第一種圓錐曲線，講清楚它從何而來，有何應用，將為學生后續學習雙曲線、拋物線提供類比的對象. 通過數學史的滲透，發現三種圓錐曲線是一個有機的整體，有利于幫助學生理解其數學本質.

4.2 思維培養

4.3 教材比較

在臺灣的教材中，一般稱橢圓、雙曲線、拋物線為“二次曲線”. 這是從三種曲線方程特征(都是二次方程)的角度給出一個統一的稱呼. 臺灣的課程標準除了要求學生掌握三種二次曲線的標準方程，還要求掌握平移、伸縮后的橢圓、雙曲線方程，對斜的或退化情形不作要求. 這樣可以更好的認識三種曲線的方程的特征. 同時，臺灣教材一般按照拋物線—橢圓—雙曲線的順序進行講授. 這是由易到難的順序. 拋物線相對于橢圓、雙曲線來說定義和幾何性質都要簡單一些，而且學生在學習二次函數的圖象與性質時對拋物線已經有了一些直觀的認識，所以先講拋物線學生接受起來會比較容易. 在研究三種曲線的幾何性質時，臺灣教材還給出了“正焦弦”(過焦點且垂直于對稱軸的弦)、“焦半徑”(二次曲線上的點到焦點的距離)的定義及性質.

大陸的教材稱這三種曲線為“圓錐曲線”，是從歷史上三種曲線來歷(同為平面截圓錐的截痕)的角度，給出一個統一的稱呼. 我們一般按照橢圓—雙曲線—拋物線的順序講授，先講橢圓的定義—標準方程—幾何性質，這里體現了用解析的方法研究一類新曲線的一般思路，即根據曲線的幾何定義，合理建系，得到曲線的方程，實現由形到數的轉化，再用方程刻畫曲線，利用方程研究曲線的幾何性質，這是由數到形的過程. 接著，只需類比橢圓去研究雙曲線和拋物線.

4.4 技術融入

在引出橢圓定義的教學環節，一些信息技術較好的教師都會使用幾何畫板或GeoGebra動畫演示軌跡的生成過程，這樣有助于學生理解“點”動成“線”，直觀地感知橢圓的形成過程. 同時還能呈現出學生改變定義條件后得到的其他曲線的形態，后面繼續用解析的方法研究雙曲線、拋物線也就變得很自然了.

綜上所述，本節內容屬于一節數學概念課，概念是數學的基礎，概念的產生常常包含了數學抽象的過程，而在理解和應用概念的過程中又必然用到邏輯推理與數學運算. 因此，在概念課教學中教師應重視過程、背景與聯系，通過各種數學活動的設計，讓學生深度參與到概念教學中，以自主思考、探究的方式感受數學概念的生成過程，體會概念產生的必要性及定義的合理性. 即使對同一概念已經講授過很多遍，我們認為，教師在進行教學設計時還是應基于學生已有的認知與學情，與時俱進，在不斷的改進中提升教學效果.