高層次數學思維的培養路徑

許禮光 沈 瓊

(江蘇科學技術出版社基礎教育出版中心 210009)

近年來，發展和加強學生的高層次數學思維已經成為一個重要的教育目標，西方研究者認為，數學教學的目的就是要培養學生通過學習數學知識發展高層次數學思維[1].教學中我們也常說“數學要把學生教聰明”，所謂“教聰明”就是要讓學生具有更高層次的思維.但是在部分教學活動中，常或因為過于強調培養知識技能，或為了應試，導致思維的淺層次、表面化，不恰當的教學反而將學生思維本性中蘊含的靈活變僵化、發散變封閉、獨創變同化.上海市2015年中小學生綠色指標測試評價的測試結果表明，全市初中生具備高層次數學思維的所占比例僅有56%，與前幾年相比，學生的高層次數學思維指數有所下降[2]. 可見培養高層次數學思維的路徑值得探索.

1 高層次數學思維及其特征

何謂“高層次思維”？目前還沒有簡單明確、廣受接納的定義.高層次思維研究起源于布魯姆和加涅的認知水平分類:識記、理解、應用為低層次思維，分析、評價、創造為高層次思維[3].但是很多學者對這一簡單的分層方法提出質疑.美國數學教育家瑞斯尼克概括了高層次思維具有以下特征:非算法的、復雜的、多種解法的、細致的、多種標準的、不確定的、自我調節、從無序中找出結果、需要持續努力的[1].國內也有學者從林崇德提出的思維品質方面著手，概括出高層次數學思維的具體表現為：深刻性、靈活性、獨創性、批判性、敏捷性[4].

筆者認為高層次數學思維是一種綜合性思維過程，常發生在元認知、問題解決、應用與創造性活動中，學生的思維經歷聯系與轉化、抽象與擴展、批判與監控的過程.換言之，高層次數學思維體現出三個基本特征:

聯系與轉化特征.能夠根據實際問題，挖掘已有經驗，廣泛建立聯系，迅速選擇合適的方法或對已有經驗進行改造，解決新問題.

抽象與擴展特征.能夠透過現象看本質，探究并概括出一般規律或模型，并能自主遷移、推廣、應用到其他情境中.

批判與監控特征.能夠對自己的思維過程進行自我調節，評價自己及他人的認知，同時善于總結并評價數學方法、數學結論、數學思想.

2 高層次數學思維的培養路徑

已有研究提出高認知水平的學習任務、基于問題的學習模型(PBL)等是發展高層次數學思維的有效方式[1]，那么日常教學中如何把高層次數學思維的培養滲透在各個環節呢，筆者認為可從以下幾方面探尋.

2.1 構筑“聯系”的通道，為實現高層次思維的“轉化”引航

我們常感到數學能力強的學生在解題中會“隨機應變”.高層次思維的靈活性要求學生在思維過程中能根據變化及時轉換思路、擅于轉化新問題.這里建立聯系是完成轉化的橋梁，高層次思維的深刻性、獨創性也都要求學生能夠發現數學對象之間的內外聯系與特殊聯系，建立的聯系越豐富、越精細、越深刻、層次越清晰，在分析、解決問題時思維轉換越靈活.事實上，突出“聯系”要素也是國際上數學教育發展的普遍趨勢[5].

(1)整體構建知識網絡.數學知識具有系統性、結構性、邏輯性，教學中應引導學生認識知識系統的整體結構，形成知識網絡.首先教師自己要理解數學知識的本質，知道新授知識在數學系統中的“來龍”與“去脈”；其次分析學生已有的認知經驗，準確激發知識的“生長點”，讓其體會新舊知識的聯系，引導學生從整體性角度進行認知，形成合理的邏輯結構.如所學模塊在知識鏈條中的位置、作用、對知識鏈條的影響等. 另外，在學習了新的知識后，要特別注意幫助學生整理、更新已有的知識網絡，這種更新不是簡單的知識網絡端點的增加，而是對知識網絡的重組、改造、整理與升華.一句話，以“聯系”為主體的整體知識網絡構建，是所有“轉化”的引航工程.

案例一元二次方程(蘇科版《數學》九年級上冊)

問題1： 某學校準備修建一個周長為50 m的矩形花圃，它的長比寬多10 m.怎樣描述其中數量之間的相等關系？

問題2： 某學校準備修建一個面積為200 m2的矩形花圃，它的長比寬多10 m.此時應怎樣描述數量之間的相等關系？該矩形花圃的長、寬為多少？

在學習一元二次方程之前，學生已經具有了一元一次方程、二元一次方程的經驗，問題1激發學生關于一元一次方程的知識生長點，問題2制造認知沖突.接下來，教師再用大量與一元二次方程有關的現實情境，幫助學生建立并感悟一元二次方程這個表示現實世界數量關系的模型.然后，引導學生關注一元二次方程與一元一次方程、二元一次方程組的聯系與異同，感悟一元二次方程是以前學過的方程知識的延續和深化.最后，讓學生總結“現在你學過哪些方程了?”這樣的類比與聯系，一方面讓學生關注不同類型方程形式上的差異，在后續學習，比如解方程中能夠靈活將各種復雜的方程轉化為熟悉的方程形式求解；另一方面有利于將學生對各方程單一的理解上升到統一的、整體的模型思維層次，即使以后面對更為復雜的問題情境，也可以通過剝離現象，提煉本質，有效地調用模型思想解決問題，使數學思維向高層次發展.

(2) 增加知識聯結的精度與強度.引導學生建立知識聯系時要避免做空洞的“詞匯游戲”，而要做內化于學生認知系統的“思維之舉”[7]，使知識網絡逐漸強化和精致化.

首先，要構建數學對象本質之間的聯系.如：在三角形的三條邊、三個角這6個元素中，“已知哪幾個元素可以用尺規作圖作出該三角形”“已知哪幾個元素可以解該三角形”“已知哪幾個元素相等的兩個三角形全等”，這3個問題表面上的聯系是同為三角形中6個元素的相關問題，但本質上都是解決“如何確定一個三角形”的問題，滲透的“在哪些元素確定的情況下，就可以確定所有元素”的思想可以廣泛應用于各類問題的解決中.

其次，要引導學生將知識之間的聯系具體化、精致化.如平行四邊形、矩形、正方形、菱形，本質上這4個概念同屬中心對稱圖形，且相互之間具有特殊與一般的關系，出示如下問題將這種抽象的聯系過渡到具體性質：平行四邊形、矩形、菱形、正方形的對稱中心、對稱軸分別什么？回顧中心對稱圖形的性質，你認為平行四邊形具有哪些性質？正方形有什么特殊性質是矩形沒有的？判定一個圖形是正方形、矩形、菱形，哪個需要的條件最多？已知一個圖形是矩形，再滿足什么條件就可以判定它是正方形了？

另外，求同中之異，在異中求同.對數學對象展開對比分析，研究相同點與不同點，并分析產生異同的原因，提高思維的深刻性.比如，學習了一元一次不等式的解法與一元一次方程的解法之后，教師出示問題：

問題1：解一元一次不等式與解一元一次方程的步驟、每一步的根據有什么相同點與不同點？

問題2：為什么解一元一次不等式時，要考慮兩邊同乘(或除以)的數的符號，而解一元一次方程時不需要考慮？

以上2個問題引導學生理解兩者都是步步有據的轉化過程，解法上的不同源于不等式的性質與等式性質的區別.

2.2 確立“抽象”的頻道，為實現高層次思維的“擴展”領航

注重培養抽象思維已經成為數學教學的共識，而培養學生將經過抽象得到的數學對象廣泛應用于更多情境同樣重要.PISA測試將數學思維和概括能力作為數學素養的最高能力等級，這不僅要求學生將現實問題數學化，辨別并提取包含在情境中的數學因素，還要求運用其分析、解釋他人的數學模式[8]，瑞斯尼克把“將新的理論應用到一系列的事實和問題上”作為高層次思維的主要特征之一[1].其實某種程度上，擴展也可看成是一種抽象，它是將抽象得到一般對象化到了更高的抽象層次.抽象思維與擴展能力相輔相承，共同為高層次數學思維領航.

(1)經歷模型推廣的過程.通過設計不同現實背景，引導學生將抽象得到的數學模型推廣到更豐富、一般的情形，提升思維的廣闊性和深刻性，在后續解決具體問題的過程中，其思維的觸發點將更廣泛，同時也更能主動自覺地尋找具有普遍意義的方法、模式.

案例“軸對稱圖形”小結思考(蘇科版《數學》八年級上冊)

在“探索研究”階段，教師出示以下問題：

問題1：一位將軍要從河流一側的軍營出發前往位于河流同側的家中，途中需要牽馬到河邊喝水，他怎么走才能更快到家？

教師引導學生分析情境，畫出圖形，抽象出數學問題，建立模型；然后運用軸對稱和“兩點之間線段最短”解決問題.接下來，將模型進一步擴展到以下問題情境：

問題2：光的反射傳播路徑滿足入射角等于反射角.如圖，光線從點A出發，經過平面鏡l反射從點B射出，請你畫出光線所走的路徑.你畫的路徑是光線從點A到點B的所有路徑中最短的嗎？

將問題1中的模型應用于物理現象中，在解答后向學生介紹這是光學中著名的費馬原理，讓學生體會數學與物理的聯系，感受數學模型應用的廣泛性.最后，出示以下拓展問題：

問題3：在如圖的矩形臺球桌上，如何擊中白球，使它能夠依次碰撞球桌邊OM、ON之后撞擊到黑球？

問題3具有與問題1、2完全不同的生活背景，同時也對前面建立的模型進行了改造與拓展，學生體會到數學模型經過變化可以應用到更多領域，開拓建模思路.

(2) 多角度分析解決問題.教學中應幫助學生打破思維定勢，引導其通過多種途徑思考和解決問題，同時在不同角度或方法之間靈活轉化，用一種思考問題的角度去支撐或幫助另一種角度的思考，辯證地看待不同方法之間的優劣.

案例“線段、角的軸對稱性”(蘇科版《數學》八年級上冊)

已知：如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F.求證：AD垂直平分EF.[6]

證法1 ：

因為AD是△ABC的角平分線；

所以∠1=∠2；

在△AED和△AFD中，

所以△AED?△AFD.

所以AE=AF.

在△AEO和△AFO中，

由△AEO?△AFO.

有∠AOE=∠AOF,EO=FO;

所以AD垂直平分EF.

證法2:

因為DE⊥AB,DF⊥AC,∠1=∠2；

所以∠3=∠4；

所以DE=DF,AE=AF.

所以D、A在EF的垂直平分上.

所以AD垂直平分EF.

本題是學生學習過“線段、角的軸對稱性”之后的例題，在這之前學生剛學習過全等三角形，經歷了大量利用三角形全等證明幾何結論的訓練，形成了從三角形全等的角度思考幾何問題的思維定勢，在本道例題實際教學中，很多學生仍會用證法1.教材引導學生從線段、角的軸對稱性的角度分析問題，利用“角平分線上的點到角兩邊的距離相等”“到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上”證明(證法2)，打破其“看到三角形中的證明問題就想全等”的定勢，學會通過多種途徑思考和解決問題.

2.3 開辟“批判”的跑道，為實現高層次思維的“監控”護航

關于高層次思維的研究無一例外都強調了評價或思維批判性的重要性，這包含兩層含義，一是監控，包括對思維過程的自我監控及有意識地自我調節和修正；二是判斷，包括以批判性的眼光根據標準做評估、比較、選擇等.

(1)通過問題引領激發學生主動反思

在教學中引導學生自覺、主動地反思，可以促進其對數學思維活動實現自我察覺、自我評價、自我探究、自我監控、自我調節.教師要為學生創設反思的機會，如可以通過示錯糾錯的方式，引導學生分析質疑，培養反思的意識，學會反思的方法.另外要給學生充分表達自己思考過程的機會，充分暴露其思維過程，不斷對學生的回答進行追問，實現“思維對話”,讓其經歷重新梳理思維路徑的過程，以主動體悟自己的思維障礙.另外通過元認知提問引導學生進行反思，教師的提問應“問過程”，而非“問結果”，要“問思考”，而非“問知識”.

案例等可能條件下的概率(一)(蘇科版《數學》九年級上冊)

在學習了計算等可能條件下的概率之后，教師出示下列例題：

問題：拋擲一枚質地均勻的硬幣2次，2次都是正面朝上的概率是多少？

在本例中，很多學生計算結果為1/3.教師啟發學生反思：

師：請談談你是如何思考的？

生：有3種可能出現的結果，2次正面朝上，2次反面朝上，1次正面朝上1次反面朝上，2次正面朝上是其中的一種，所以概率是1/3.

師：你說的“1次正面朝上1次反面朝上”中的1次是指哪一次呢？

生：可以第1次也可以是第2次.(引導生意識到枚舉未全，所以3種結果不是等可能的)

師：你為什么會發生這種錯誤？

生：我把第1次和第2次算成同一次了.

師：想想看用什么方法避免這種錯誤，使得列舉的結果不重不漏呢？(引導學生體會列表、畫樹狀圖在條理性方面的優點)

(2)適時創設機會引導學生有根據地批判

大部分數學知識和問題答案在向學生呈現時都是確定且唯一的，這在一定程度上導致學生在數學學習中批判意識的欠缺.教學中教師要適時創設機會讓學生在學習時進行有效思辨，讓其自主探索、合作交流，在思辨中探求“真理”，潛移默化地提升思維的批判性.這里的“辨”，不是“亂辨”，而是在教師的指導下，找到辨證的根據與原則，結合與自己的經驗、當下的情境，獨立提出觀點.

案例蘇科版《數學》教材九年級下冊“8.1 中學生的視力情況調查”[6]

教材提供了5種對本地區中學生視力情況調查的不同方式并給出相應的調查結果：在眼鏡店調查50名中學生的視力，在鄰居中調查20名學生,在所在學校每個年級調查10名學生,查閱本地區每個中學醫務室資料,抽查本地區10%的學生.

教師讓學生合作交流，對5種調查方式進行評價，并通過如下問題引導學生確立評價的根據：這5種調查方式的結果為什么相差這么大？它們在數據來源上有什么不同？它們對數據的處理方式是怎樣的？對這5種調查方式你有什么看法？如果讓你調查本地區中學生的視力情況，你應該如何收集數據？

通過讓學生自由的討論、發表看法、對他人的回答做出評價，學生在感受到抽樣調查的原則、加深對數據的認識應用的同時，經歷思辨的過程，提升批判意識.

正如前文所說，高層次數學思維到目前為止，還沒有一個被廣為接受的一套定義.從數學學科來說，高層次數學思維在數學學習中也不是完全獨立的，它可以被認為是多種能力的疊合，高層次數學思維的培養應貫穿人才培養的全過程、滲透在數學教學的各個環節.但無論怎樣,探尋與培養學生的“聯系與轉化”“抽象與擴展”以及“監控與批判”能力應是高層次數學思維能力提升的必然路徑.