基于變式教學的數學教學設計①——以“基本不等式”為例

鐘志華 李 渺

(1.南通大學理學院 226019；2.湖北工程學院 432000)

眾所周知，變式教學作為成熟的教學理論已成為我國數學教學的瑰寶.關于變式教學理論在數學教學設計中的運用也取得了非常豐碩的研究成果.本文以“基本不等式”為例，著重從情境創設、猜想發現、猜想證明、課堂小結及課后作業等方面探索如何充分發揮變式教學的指導作用，希望能為中學教師設計變式教學的數學課堂提供一個不一樣的視角.

1 教材地位與作用分析

不等式是數學的重要分支之一，許多數學公式、定理往往都是用不等式來表述的.因此，研究不等式的證明不僅對于不等式的學習具有十分重要的作用，而且對于其它數學知識的學習也可以起到很好的促進作用，同時，不等式的證明在其它學科及生產實際中也具有非常廣泛的應用.

而基本不等式又是不等式證明的重要基礎，雖然學生在此之前也學習過作差法、導數法等證明方法，但這些方法都有它們各自的局限性.基本不等式的學習不僅為諸如柯西不等式、冪平均不等式等重要不等式及更為復雜的不等式的證明奠定重要的知識基礎，而且也提供了重要的方法基礎，基本不等式的出現開辟了用不等式證明不等式的全新研究思路，為不等式的證明打開了嶄新的研究方向.

本節課選自人教A版《普通高中課程標準(實驗)教科書·數學》必修5第三章第4節第一課時，它是學生學習的第一個重要不等式.在此之前，學生已經系統學習了不等式的性質、一元一次不等式、一元二次不等式、二元一次不等式組及簡單的線性規劃問題等知識.基本不等式是對前面所學知識的進一步深化與發展，同時也是今后學習其它更為復雜的不等式的證明、求函數的最值等知識的基礎.在基本不等式證明過程中涉及很多重要數學思想方法，如數形結合法、等價轉換方法、分析法等，特別是分析法，它是一種十分重要的證明方法，它為數學證明提供了一種更加高效、簡潔的方法.這些方法不僅可以簡化數學證明，而且可以培養學生的推理能力和創新能力、激發學生的探究興趣、提升學生的數學素養.綜上所述，學好本節課對今后的學習具有十分重要的作用.

2 學情分析

從已有知識和經驗來看，學生在此之前已經系統學習了不等式的概念、性質和一些簡單不等式的證明，對不等式的證明方法已經有了一定的了解，同時，還學習了直角三角形的性質與圓的性質等知識，這些知識為本節課的學習奠定了良好的知識基礎.另外，學生在此之前還學習了配方法、作差法及數形結合方法等數學思想方法，這些方法為基本不等式的探究與證明提供了方法上的保障.

從已有能力來看，學生經過多年數學學習，已經具備了一定的觀察能力、推理能力和思維轉換能力，只要教師啟發得當，學生應該是能通過觀察、分析、思考發現并證明基本不等式的.當然，在基本不等式的探索發現過程中也會存在一定的困難，比如學生比較容易發現趙爽弦圖中的相等關系，而不容易發現其中的不等關系.另外，分析法的證明是新學內容，對學生來說也是難點，在教學時要求不宜太高，只需要讓學生初步了解即可.

3 教學目標分析

(1)理解基本不等式的內容，能用文字語言、符號語言和圖形語言來表示基本不等式；初步了解分析法的概念、過程及其與綜合法之間的區別與聯系.

(2)經歷基本不等式的探索發現與證明過程，從中體會數形結合、等價轉化等數學思想方法；

(3)在對“會動的趙爽弦圖”的觀察、分析、思考過程中，體驗數學探究的樂趣，感受數學文化的歷史悠久與博大精深，激發學好數學的興趣和積極性.

設計意圖基本不等式這一節課的主要內容是基本不等式的發現、證明與應用，但由于時間所限，本節課只能講基本不等式的發現與證明，不能講基本不等式的應用.因此，把理解基本不等式的內容作為知識與技能方面的主要目標，分析法雖然也是本節課的教學內容，但由于學生剛剛接觸分析法，理解還存在一定困難，故將分析法的教學目標定為初步了解這一層次.

4 教學重難點分析

(1)教學重點：重要不等式的發現與證明.

(2)教學難點：重要不等式的發現與分析法的理解.

設計意圖義務教育課程標準指出，數學教學最重要的是讓學生在觀察、操作、猜想、推理、驗證等過程中，親身體驗如何“做數學”、如何實現數學的“再創造”，并從中感受數學的力量.[1]而基本不等式這節課既涉及兩個不等式的發現又涉及到它們的證明，這些內容難度適中、形式豐富，不僅可以充分激發學生的探究熱情，而且可以培養學生的探究能力，讓學生獲得探究的體驗.但這兩個不等式在本節課中的地位并非等量齊觀，因為只要掌握了重要不等式，那么基本不等式就迎刃而解了.故將重要不等式的發現與證明作為本節課的教學重點.

趙爽弦圖雖然學生在初中就已經熟悉，但受思維定勢的影響，學生往往比較容易發現趙爽弦圖中的相等關系，而不容易發現其中的不等關系.因此，如何引導學生發現大正方形面積大于四個直角三角形面積之和并進而得出基本不等式是本節課的一大難點；分析法之所以是本節課的難點，是因為分析法以前學生從來沒有接觸過，它需要學生對數學思維的本質有較高的認識，同時在運用過程中還要特別注意“以上各步皆可逆”這一使用條件.

5 教法學法分析

(1)本節課主要采用問題解決教學法與直觀教學法來進行教學.

設計意圖問題解決教學是教師通過創設問題情境，讓學生經歷發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的全過程.通過問題解決可以讓學生更加深刻地了解知識產生和獲得的全過程，并在此過程中掌握科學研究的一般方法，獲得探索發現的成功體驗.本節課中無論是兩個不等式的發現與證明，還是“當且僅當”、“分析法”等新概念、新方法的引入都應該讓學生在充分探索的基礎上自然而然地產生出來，而不應該由教師強加給學生.要實現以上目標，教師需要在精心設計的基礎上由淺入深地構建“問題串”來啟發引導學生去探索、去發現.選擇直觀教學法是考慮到本節課中無論是重要不等式的發現還是基本不等式的理解都需要借助于一定的圖形直觀，同時直觀教學法還可以體現和培養數形結合思想.

(2)本節課的學法主要采用自主探究與合作學習相結合的方式.

設計意圖重要不等式的發現與證明、基本不等式的發現與幾何解釋的構建都需要學生在教師的引導下通過觀察、操作、思考、猜想、驗證等途徑才能完成，這些過程采取自主探究的方式比較合適.而重要不等式的多種證法的探究、基本不等式的多種幾何解釋的提出很難依靠一兩個學生獨立完成，這就需要合作學習，需要學生在充分思考的基礎上通過相互交流、彼此合作才能完成.而相互交流與合作又可以促進學生取長補短、共同提高.

6 教學過程設計

6.1 創設變式情境，培養提問能力

在學習勾股定理的時候，我們曾經利用趙爽弦圖給出了勾股定理的證明.今天老師把這個趙爽弦圖做成了動畫，變成了“會動的趙爽弦圖”(向學生播放動畫)，看到這個動畫你們能提出什么問題？

設計意圖阿基米德說過，“給我一個支點，我可以撬起整個地球”.如果把這句話移植到數學課堂教學中，我們可以說數學課堂的支點就是情境創設.情境創設不能僅僅滿足于激發學生學習興趣，而應該把創設情境作為培養學生發現問題、提出問題能力的一種重要手段.

趙爽弦圖學生在初中時就已經接觸到，這里采用圖形變式將傳統的趙爽弦圖改變為“會動的趙爽弦圖”，一方面可以制造“懸念”，激發學生探究的興趣；另一方面，則可以創設一種問題情境，引發學生提出“這個圖有什么特點或性質？”“趙爽弦圖在變化過程中有沒有什么性質保持不變？”等一系列問題.同時，它還可以讓學生在圖形的運動變化過程中更好地把握事物的本質、感受“變化中的不變性”這一重要數學思想.

當然，要學生一下子就能發現動畫中的不等關系可能還存在一定困難，因為，學生在過去接觸得比較多的主要是相等關系.這時，教師不必急于把學生的思維馬上拽回來，不妨先讓學生自由探索，他們可能會發現圖中的相等線段、相等角、全等三角形等等，待學生探索到一定程度以后，教師可以適時給予總結并順勢提出進一步探索的問題：“同學們剛才通過探索發現了圖中的許多相等關系，那我們還能提出什么問題呢？”將學生的思維自然而然地引向趙爽弦圖中的不等關系的探索.

6.2 設計變式問題，啟發數學發現

如果學生在教師的啟發引導下能提出“圖中存在不存在不等關系？”，那么教師可以追問“我們應該從什么方面去考慮呢？”如果學生在教師的啟發下還不能提出這一問題，這時教師可以直接提問學生“在會動的趙爽弦圖中，我們是否可以找到某種確定的不等關系呢？”將學生的思維引向對圖中不等關系的探索.

在探究不等關系的過程中，學生可能會將注意力集中到邊與邊之間的不等關系，這時教師要適時引導學生把思維轉向面積之間關系的研究，比如教師可以這樣提問學生，“這些關系我們過去都研究過，同學們再看看有沒有新的發現？”或“我們剛才一直都在研究線段之間的關系，同學們能不能換個角度再來進行研究？”經過這樣的啟發，學生一般都能想到研究圖中面積之間的不等關系.如果還是想不到，此時可以提問學生在證明勾股定理時考慮的是什么？或直接提示“面積”二字.

在探究面積之間的不等關系時，學生可能會說出“大正方形面積大于小正方形面積”、“大正方形面積大于每一個直角三角形面積”、“大正方形面積大于四個直角三角形面積之和”等多種不同答案.這時教師不應急于對學生的結果進行評判，而應該先對學生的探索發現加以肯定和鼓勵，然后再提出“你們覺得這些結果中哪個結論最有價值？”這樣的問題，順勢地把評價的權利交還給學生.

經過這樣的啟發以后，學生一般都能發現“大正方形的面積永遠大于四個直角三角形的面積之和”這一結論最有價值.此時，教師可以進一步追問學生“一定大于嗎？”讓學生意識到還有相等情況存在，如果學生發現不了，教師可以通過動畫將“會動的趙爽弦圖”中的小正方形縮成一點來啟發學生.

在學生得出重要不等式的文字表達形式以后，教師還可以進一步追問學生“這個結論能不能用數學符號來表示？”“如果可以，那又該怎么表示？”引導學生得出重要不等式的符號表征——a2+b2≥2ab.這樣設計的意圖是通過語言變式來促進學生從多角度來理解重要不等式.

在引入“當且僅當”這一術語時，教師可以通過“等號什么時候成立？”“在其它情況下等號成不成立？”這兩個問題讓學生弄清楚“當a=b時取等號”與“僅當a=b時取等號”分別表示“由a=b?a2+b2=2ab”與“由a2+b2=2ab?a=b”這兩個完全互逆的思維過程，而“當且僅當”表示的則是這兩種思維過程的結合體，所以要用“且”這個詞將“當”與“僅當”連在一起.

設計意圖著名數學家哈爾莫斯有句名言“問題是數學的心臟”.愛因斯坦也曾經指出，提出一個問題往往比解決一個問題更重要.可見，無論是在教學還是在科學研究中都離不開問題.事實上，在數學探究教學中，無論是情境的創設、猜想的發現還是猜想的證明都需要問題來引導，若沒有各種可供解決的問題存在,或沒有解決問題的行為的產生，探究也就無從談起.為了更好地啟發學生進行探究，本設計在猜想發現這一環節由淺入深地設計了環環相扣的10個問題，目的是希望通過教師循循善誘的引導讓學生主動探究、主動發現猜想.

6.3 利用解法變式，拓展思維空間

發現猜想以后自然就要證明.這時教師可以順勢提出“有誰能夠證明這個不等式嗎？”根據以往的經驗，學生一般會采用作差法來進行證明，如果學生還有困難，教師可以提醒學生，“過去我們證明不等式一般采用什么方法？”讓學生通過回憶想到利用作差法來進行證明.接著，教師可以進一步提問學生，“除了作差法，還有其他想法嗎？”

設計意圖因為在學生記憶中證明不等式常用的方法就是作差法，讓學生說出想法或思路是為后面引出分析法證明做鋪墊.此時，如果學生有想法，則可以讓學生將自己的思考過程在黑板上寫下來；如果學生沒有想法，教師可以帶領學生對要證明的不等式進行分析：我們解題時常用的思路一般有兩種，一是從條件出發去推導結論，二是從結論出發去尋找結論滿足的條件.這兩種方法分別稱為“由因溯果法”和“執果索因法”.而且一般來說，如果從條件推結論比較容易，就采用“由因溯果法”，反之，則采用“執果索因法”.就本題而言，由于題目當中沒有任何條件，因此，在進行證明時不得不從結論出發來進行思考.從而引導學生進入下面的探究過程：

同學們，我們來看結論，要證a2+b2≥2ab這個不等式，根據不等式的基本性質就是要證明a2+b2-2ab≥0，將式子配方，就是要證明(a-b)2≥0.而式子的左邊是完全平方式，當然成立.這樣，我們在進行證明時，就可以先從(a-b)2≥0出發，然后將左邊展開，最后再通過移項即可得到a2+b2≥2ab.

在證明完成以后，教師應及時對這兩種思考問題的過程進行比較、總結并在此基礎上提出“分析法”、“綜合法”這兩個概念.在此過程中，教師可以向學生介紹分析法產生的由來：許多數學家們一開始也像大家一樣，先從結論出發來分析解題的思路，然后再把分析過程顛倒過來書寫證明過程.后來，有的數學家就開始思考，每次這樣來回折騰太麻煩，有沒有更簡單的書寫方法呢？于是，聰明的數學家就想到一個巧妙的“偷懶”辦法，那就是先檢查一下原來的分析過程是不是都能倒回去，如果可以就直接在證明分析結束時加上“以上各步皆可逆”，就可作為一種證明方法了.

設計意圖由學生說出的思路來引出分析法，體現了學生在課堂中的主體性，這不僅可以激發學生學習的興趣，而且可以加深對分析法的理解.揭示分析法的產生原因，一方面可以讓學生充分認識分析法的本質，讓學生真正認識到為什么在用分析法進行證明時要加上“以上各步皆可逆”這句話，明確分析法在什么時候能用、什么時候不能用.避免在實際運用過程中生搬硬套，不仔細檢查是否真的“以上各步皆可逆”，而僅僅把它作為一句套話.另一方面，則可以讓學生更好地了解數學家的思維過程，破除學生對數學家和數學研究的神秘感，激發學生研究數學的積極性.這樣，通過解法變式，不僅可以拓展學生的思維空間，而且可以克服學生的思維定勢.

6.4 借助語言變式，引導發現新知

著名數學家波利亞在介紹解題方法時曾經有一句名言：“不斷變換你的問題”.美國著名教育學家布魯納也曾經將轉化看作是學習的三個重要過程之一.可見，變換在學習中的重要性.在我國數學教育界，體現變換思想的變式教學一直被認為是我國數學教育的優良傳統.因此，在學生學習了重要不等式以后，教師要善于引導學生對所學知識進行變形并主動與已有知識建立聯系.這不僅有助于深化學生對新知識的理解，同時也有助于促進知識的遷移與應用.此時，教師可以適時向學生提出如下問題：“在學習新知識的時候，我們往往喜歡將未知的形態轉化為自己熟悉的形態，很明顯，這個重要不等式x2+y2≥2xy的左邊和右邊我們并不熟悉，那我們能不能做一些工作，使得不等式兩邊變成我們熟悉的樣子呢？”

設計意圖以化歸思想引出基本不等式，不僅符合學生的認知特點，而且自然而然地達到承前啟后的效果.同時，對以后進一步學習不等式的證明及其它數學知識也有十分重要的指導作用.

得到基本不等式以后，教師還可以繼續提問學生“這個不等式還可以用文字語言和圖形語言來表示嗎？”“如果可以，那應該怎么表示？”讓學生進一步用文字語言和圖形語言來表示基本不等式.

基本不等式的文字語言表示對學生來說并不存在多大困難.幾何解釋雖然有很多，但學生并不容易想到.此時，教師可以通過“我們以前在什么圖形中見到過兩條線段的算術平均數和幾何平均數(比例中項)？”來啟發學生進行聯想.如果學生還有困難，教師可以降低要求，向學生呈現圖形并引導學生思考“你能看出圖中的基本不等式嗎？”來讓學生找到基本不等式的幾何解釋.

設計意圖提出用文字語言和圖形語言來表示基本不等式的目的是讓學生從不同的側面理解不等式.這不僅有助于學生深化對基本不等式的理解，而且為后面學習基本不等式的應用打下堅實的基礎.同時，也有助于滲透數形結合思想、多元表征思想及變式教學思想.至于基本不等式的證明雖然也是本節課的教學目標，但由于與重要不等式的證明非常類似，這里再講就會顯得多余.基本不等式的證明可以放在之后的練習中，讓學生自己嘗試證明，這樣效果會更好.

6.5 利用變式思想，優化認知結構

提問：這節課我們學了哪些重要知識和方法？有什么收獲與體會？

設計意圖由于本節課的新學內容比較多，教師可以通過適當引導讓學生從兩個不等式的三種語言表征、三種證明方法及其背后蘊含的數學思想方法、兩個不等式之間的區別與聯系等方面對本節課所學的內容進行總結.

這樣設計一方面可以讓學生通過回顧系統梳理本節課的知識要點，促進學生認知結構的優化；另一方面，可以培養學生善于反思、善于總結的習慣.讓學生說出學習后的收獲與體會，學生既可以從探究發現過程中所獲得的成就感和喜悅感等方面來闡述，也可以從分析法的起源了解數學家的所思所想，學會像數學家那樣去思考，激發數學研究的積極性.這不僅可以提升學生的發散思維能力，而且可以培養學生良好的情感態度價值觀并在此基礎上進一步提高學生的數學素養.

6.6 呈現變式圖形，引發課后探究

課后作業：如下圖，PA=a，PB=b.你能找到基本不等式的幾何解釋嗎？還能找到哪些線段之間的不等關系？能用不等式表示出來嗎？

設計意圖呈現這一圖形，一方面可以讓學生了解基本不等式的多種幾何解釋，另一方面則可以讓學生運用所學知識探索冪平均數、調和平均數與算術平均數、幾何平均數之間的關系，進一步開拓思路、擴大視野.