以函數為例談數學知識與數學素養的有機融合

王 嶸

(人民教育出版社 課程教材研究所 100081)

縱觀百年發展，我國中學數學課程從傳授知識到發展智能再到提升素養，越來越注重數學的育人價值.特別是《普通高中數學課程標準(2017年版)》(以下簡稱《標準》)，提出了六大數學核心素養，并給出了明確具體的界定.在教材編寫、教學實踐和學業評價中，如何處理數學知識與核心素養的關系，達成兩者的有機融合，是實現課程目標的關鍵.本文以函數為例，聚焦教材編寫，從體系建構和呈現方式兩個方面探討這個問題.

1 強調邏輯性和關聯性的主線建構

《標準》指出，六個數學核心素養既相對獨立、又相互關聯，是一個有機的整體，而且它們是在數學學習和應用過程中逐步形成和發展的.因此，數學核心素養的培養具有連續性和階段性.相應地，教材就需要構建一個結構體系，努力處理好知識的整體性和層次性與素養的連續性和階段性之間的關系.

核心概念位居數學概念體系的中心，它既具有豐富的數學基本特征，又具有很強的自我生長能力和聯系紐帶作用.因此，無論是對數學知識還是核心素養，它都具有強大的縱向融合貫通、橫向緊密聯系的組織功能.[1][2]以核心概念的邏輯發展為主線組織相關知識，以其子概念為載體，發展不同主線間的聯系，就能形成主線明確、聯系通道順暢的網狀教材體系，從而將數學知識的整體構建與核心素養的連續發展融為一體.

1.1 單條主線的縱向貫通

根據函數的邏輯發展，從定義到性質，從一般到具體和特殊，從關系到對象，形成了貫穿高中數學課程的函數主線(圖1).首先，基于初中函數定義的變量說，提升抽象程度，研究一般函數的概念，得到函數定義的對應關系說，并系統研究函數的性質；然后基于一般的函數概念，既可以根據變化規律的特點，分析數量關系特征(函數結構)，得到四類基本初等函數，也可以將定義域限制在自然數集，得到一類特殊的函數——數列，并研究這些函數類的性質和應用；最后，將函數作為一種對象，從對函數分類到研究一元函數的導數，進入數學分析的領域.

圖1 函數的邏輯發展主線[注] 虛線框為初中學過的知識，仿宋字為滲透使用、延伸到大學將學的知識.

根據這條主線，教材采用相對集中、分段安排的編排方式，以突出知識的邏輯性、整體性和素養的連續性、階段性.具體做法有：(1)函數的概念、函數的表示法、函數的性質、基本函數類、函數的應用集中于一冊，放在高一年級；特殊函數類、一元函數的導數集中于一冊，放在高二年級.(2)函數的理解，分為兩個階段：一是理解它的概念本質，即對應關系；二是對函數進行分類，把每一類函數當作一個整體并研究它的結構與共性，即將函數作為一個對象進行操作.例如根據函數結構差異可以分為冪函數、指數函數、對數函數、三角函數等，這些基本初等函數是函數大廈的基石，經過有限次代數運算和復合運算、逆運算(反函數)，以及求極限、導數、積分就可以得到更多的新函數.(3)函數的性質，也分為兩個階段理解：一是介紹四個初等性質：單調性、最值(有界性)、奇偶性和周期性；二是滲透連續性和可導性，這種滲透都是基于直觀上的使用，例如結合圖象對“連續不斷曲線”的感知，以及結合具體函數認識某一點“可導”等.對于分階段學習和理解的知識，教材通過關注以下兩點來加強主線的整體性：(1)從哪里來，延續初中所學，往哪里去，延伸到大學將學，例如章引言、節引言和章小結中的概要說明；(2)階段性總結，例如函數性質的高一與高二的跨年級總結，特別是單調性的直觀理解、代數求解、導數刻畫的總結以及相關數學素養的階段性提升.

1.2 不同主線間的橫向聯系

除了函數主線，高中數學課程還有三條主線：幾何與代數，概率與統計，數學建模活動與數學探究活動[3].以函數的某些子概念為載體，就可以發展出與其他主線的聯系(圖2).函數是刻畫運動變化的數學模型，其類型的多樣性和性質的豐富性使得它可以表達豐富的現實世界規律.因此，數學建?；顒雍秃瘮祵W習有一種天然的聯系，從獲得函數概念、每一類函數以及函數的應用，幾乎都離不開建?；顒?而基本初等函數以及通過運算產生的新函數為概率與統計提供了相應的數學工具，例如用函數模型模擬雙變量情形中的趨勢，建立回歸模型，利用指數函數的圖象和性質了解正態分布的特點.進一步，當用代數方法研究幾何時，運動、曲線、函數就和諧地聯系在一起了，如一次函數與直線，二次函數與拋物線，三角函數與圓、斜率、向量、復數，等等.

圖2 函數與其他主線之間的聯系

根據主線間的橫向聯系，教材通過加強聯系來突出數學的整體性，主要做法有：(1)強化子概念的橋梁作用.不同主線之間的聯系是通過主線核心概念的某些子概念建立的，因此呈現這些子概念時，特別突出了“橋梁”的搭建過程.比如與其他主線建立聯系最多的三角函數，關注了兩個“對應”的建立：一是，角本身是一個幾何對象，引入弧度制，角和實數建立一一對應，符合對應關系的函數定義；二是，將角放在坐標系中，角的變化與單位圓上點的變化建立了對應，再利用圓的幾何性質，就可以得到相應的三角函數之間的關系，像誘導公式等.再如一元線性回歸模型，借助一次函數建立回歸模型，同時通過兩者的區別說明了回歸模型的含義.(2)繪制關系框圖.為了簡單、明確地表明知識之間的邏輯發展和相互聯系，教材在小結中采用了框圖形式.比如圖3[注]人民教育出版社中學數學室，普通高中教科書數學必修第二冊(送審本)：98.，就表明了復數與實數、有理數，以及和平面向量、三角函數之間的關系.

圖3 關系框圖

2 展現知識和思維發生發展的雙過程

在教材整體結構設計之后，更為具體化、可視化的是教材的呈現，即如何在數學知識的表述中體現數學素養，將知識學習與素養培養融為一體.我們認為，通過數學學習，無論是培養能力還是形成品德，都會具有數學的基本特征，而數學就是思維的科學，只有具有了數學的思維方式，擁有了一定的數學知識，才能以數學的眼光觀察和發現問題，才能以數學的思想和方法分析和解決問題，才能在這個過程中養成探索精神和理性精神，才能實現數學在形成人生觀、價值觀、世界觀等方面的獨特作用.因此，教材以“展現雙過程”為橋梁，基于知識學習，以思維能力的培養為核心，并由此延伸到一般能力和個人品德的培養.

2.1 基于知識的發生發展，體現數學的思維方式

當我們強調數學不只是學習知識，還要學習思想和方法時，我們需要展現知識發生發展的過程，讓學生通過經歷這個過程，學會知識、掌握方法、理解思想；同樣地，如果要培養學生的思維能力，那么就需要讓學生使用數學思維方法，經歷思考的過程.概括而言，就是讓學生以數學的思維方式經歷知識的發生發展，既學會了知識，又受到了研究方法的訓練，從而培養了學生的思維能力，提升了數學素養.

知識發生發展的過程大致為：從哪里來，即數學對象的背景；如何獲得的，即數學對象的產生；具有哪些性質、有何拓展與應用，即數學對象的發展.相應地，實現這個過程的數學思維方式大致為：觀察客觀現象，分析其主要特征，抽象出概念；然后通過探索，運用直觀想象、歸納、比較，做出某種猜想；對猜想進行證明，需要進一步的深入分析、計算和邏輯推理，揭示出事物的內在規律.例如圖4，展示了函數的發生發展和數學思維方式之間的一些主要關系，觀察背景實例，抽象概括出概念，通過比較歸納獲得性質，運用分析與綜合進行論證和應用.

圖4

2.2 兩個案例：指數函數與導數

為了較為直觀具體地說明如何通過展開知識和思維發生發展的“雙過程”，從而將知識學習和數學素養培養相融合，下面來分析兩個案例.

1．指數函數的概念：數學運算素養與數學抽象素養

“指數”最初是多次自乘的一種縮寫符號，“指數法則：aman=am+n”也可以看成結合律的一種特殊情形.當“保持指數法則”不變時，逐步地把指數從整數推廣到分數、一直到實數后，就得到一個函數，即指數函數.同時，指數函數也是一類自然規律的數學抽象，它刻畫的是某類增長率為定值的變化事物，即變化事物的增長速率與其自身成正比，而線性函數的增長速率為定值，所以指數函數是級數增長，也就是通常所說的指數爆炸.

在高中階段，“無理數指數冪”實現了指數從整數到實數的推廣，明確了其意義與運算性質.“指數函數”則是作為刻畫某一類自然規律的函數學習，因此，指數函數的概念是從這一類自然規律中抽象獲得.但是在抽象過程中，很關鍵的是對于數量關系、運算特點的分析，通過分析，去掉非本質的，保留本質的屬性，獲得共同的數學結構.

(1)精選例子：觀察—分析

在數學研究中，數學抽象的第一步是發現數學現象，即從紛繁復雜的情景中發現一些反復出現的、預示著某種規律性的數學現象.由于教科書的局限性，不可能呈現這種復雜的情景，因此，教科書一般需要精挑細選作為數學抽象情景的例子.根據指數函數刻畫的自然規律類型，教科書精選了兩個實例：旅游經濟問題和碳14衰減問題.第一個實例有兩個特點：一是貼近實際，A，B兩地景區的數據均源于真實數據，兩地景區的游客人數變化分別呈線性增長和指數增長；二是以表格呈現原始數據，學生需要通過觀察、作圖、運算等發現數據蘊含的規律.第二個實例是經典的指數函數問題，直接給出了變化規律：生物體死亡后，它體內碳14含量會按確定的比率衰減，學生需要根據這個規律寫出碳14含量與死亡年數的關系式.兩個實例，一個是指數增長，一個是指數衰減；一個需要觀察和分析數據，一個需要觀察和分析關系式的變化特點.

(2)恰時恰點設問：分析—抽象—比較—概括—抽象[5]

設問是引導學生獨立思考，展現思維過程的重要手段.恰時恰點地設問，是教科書編寫的目標之一，也是不斷改進的環節之一.對于旅游經濟這個實例，通過數據及其圖象，學生能觀察到數據的變化規律：A地景區的游客人數呈線性增長，B地景區的游客人數呈非線性增長.那么，這種非線性增長的特點是什么？是否可以用數學工具刻畫呢？這時，簡單的數據和圖象趨勢的觀察和分析，已經不能解決這些問題，需要尋找方法深入分析和比較.因此，教科書設置“探究”欄目提出問題：年增加量是對相鄰兩年的游客人次做減法得到的.能否通過對B地景區每年的游客人次做其他運算發現游客人次的變化規律？通過這個問題，引導學生思考通過運算精細分析數據間的數量關系，加一加、除一除，會發現B地景區的游客人次的年增長率是一個常數.那么，這一規律的數學屬性是什么？是否具有一般性？教科書通過分別分析兩個實例中關系式的運算特點(指數冪)，抽象出各自的函數解析式之后，比較這兩個函數關系，概括它們的共同屬性，區分出本質屬性和非本質屬性(比如由背景造成的定義域限制等)，抽象出指數函數的概念.

2. 導數的概念：直觀想象素養與數學抽象素養

數學概念的獲得，一般都通過數學抽象獲得.但是在這個過程中，根據知識的特點，運用的思維方式不同，側重的數學素養培養也不同.比如，指數函數概念的抽象，關鍵在于對運算特點的分析，因此培養了數學運算素養；而對于導數概念的抽象，其過程大致為：直觀的物理概念(速度)和幾何概念(切線)—樸素的數學想法—分析方法—符號表示—分析定義.由于高中階段并不介紹嚴格的極限定義，因此導數概念的獲得更需要對于無限的直觀想象和逼近思想的領悟，也就需要較強的直觀想象素養.

從歷史上來看，導數這樣一個概念，其抽象過程也充滿了直覺、靈感、困惑、頓悟、質疑等，因此相較于指數函數的“精選例子”和“設問”，對于導數，教科書更加關注“表明想法”和“明確道理”，讓學生充分運用直觀想象、觀察分析、抽象概括等思維方式獲得導數的定義，感悟導數的意義.

(1)表明想法

無論是從直觀的速度概念還是切線概念出發，都需要想象“無限”是怎么回事.生物學是使用顯微鏡觀察微生物，而數學是用思維的顯微鏡想象無限.物質的顯微鏡受倍率限制，而思考的顯微鏡可以無限.比如，把拋物線f(x)=x2在點(1，1)處放大10倍，100倍，點(1，1)附近的曲線彎曲越來越不明顯，這就像我們生活在地球的某一處很難感覺到地球是圓的一樣.繼續擴大倍數，1000倍，10000倍……運用思維的力量大膽想象，點(1，1)附近曲線的無限小部分變成了直線，而這條直線的無限延長就成了切線.

首先，教科書借助速度概念和切線概念的直觀性引導學生開啟想象之門.例如，對于跳水運動，直觀感受運動員從起跳到入水過程中運動的快慢；對于切線，直觀感受圓的切線定義(一條直線與一個圓只有一個公共點)的局限性等.然后，在困惑、頓悟、靈感(思想)之處用一些話語點明想法的源頭和實施方法，例如對于跳水運動在某個時間段內遠動員的平均速度為0，提出問題“用平均速度描述運動員的運動狀態有什么問題”“如何計算瞬時速度”后，要求學生想象：如果不斷地縮短時間段的長度，那么平均速度和瞬時速度有何關系.同時還利用旁注點明：用運動變化的觀點研究問題是微積分的重要思想.接下來，在切線研究時，教科書類比瞬時速度，要求學生用這種運動變化的觀點想象割線的變化趨勢，而且在展示動態的局部放大的圖象變化時，又用旁注點明：數學上常用簡單的對象刻畫復雜的對象.這里，我們用曲線上某點處的切線近似代替這一點附近的曲線，這就是微積分中重要的思想方法——以直代曲.

(2)明確道理

結束語

在教材編寫中，“如何將數學知識與數學素養融為一體”這個問題既是重點又是難點.從前期研究到中期實驗再到后期編寫，我們逐漸認識到二者的相輔相承以及“融合”的自然而然.數學知識具有邏輯性和聯系性，數學素養具有連續性和階段性，因此，都需要站在系統的高度編、教、學，這樣才能看到其中的“盤根錯節”和“渾然一體”；具體到每一個數學知識，特別是核心知識，側重的數學素養不同，因此，需要根據知識的特點，分析其蘊含的最突出的數學素養，展開知識和思維發生發展的雙過程，才能深入本質，明察秋毫.