侗族風雨橋建筑藝術中的數學文化①

2019-07-09 09:51:06吳秀吉羅永超

數學通報 2019年5期

吳秀吉羅永超

(1．貴州省凱里學院附屬中學 556000； 2.貴州省凱里學院數學科學學院 556011)

風雨橋是侗族最具特色的建筑之一.她和侗族鼓樓、侗族大歌，被列為侗族“三寶”，聞名于世.她是侗族人民勤勞智慧的結晶，更是侗族艱苦創業、勤勞愛家的民族獨特的人文景觀.風雨橋已經不僅僅是實用意義上的橋，更是侗族人民追求現實完美、追求靈魂超越的象征.整個橋身不用一釘一鉚以及其他鐵件，皆以質地耐力的杉木鑿榫銜接而成，集橋、廊、亭、塔、樓閣的建筑特色于一體.風雨橋是所有橋梁建筑中的明星，她是侗族橋梁建筑藝術的結晶.

風雨橋的主體結構對稱和諧，其亭、塔平面圖通常是正方形、正六邊形和正八邊形，但也有平面圖一般由正方形和正八邊形復合組成．其平面結構圖(如圖1所示)內部是一個正方形A2B2C2D2，而外部是一個與正方形A2B2C2D2同心的正八邊形A2EB2FC2GD2H組成.古代侗族沒有量角器，風雨橋建筑師僅憑一把直角刻度尺(風雨橋建筑師通常稱為“角尺”，如圖2所示,較短的直角邊帶有刻度)和一只竹筆(竹箋：如圖3所示)，在實踐中總結出了很多幾何作圖的方法．盡管風雨橋建筑師門派較多，同一種圖形的畫法也不盡相同. 本文對侗族風雨橋建筑的整個工藝過程和制作流程中所包含的數學原理進行研究得出以下結果.

圖1

圖2 直角刻度尺

圖3 鼓樓建筑師常用的竹筆

1 風雨橋建筑的初等幾何

我們注意到，建造一座平面結構圖為內部是一個正方形，而外部是一個與正方形同心的正八邊形組成的風雨橋亭、塔，鑿柱眼時需要做成135°和22.5°的角，他們通常是通過作等腰直角三角形底邊上的中線平分直角去實現的，過程如下：

首先，在準備好的呈圓柱(實際上是不規則)的原木，(如圖4)兩頭(橫截面)分別吊垂線A1A2及A′1A′2，并用墨線分別連接A1A′1及A2A′2；然后將原木旋轉90° ，重復前面的方法作出B1B2,B′1B′2,B1B′1,B2B′2, 且A1A2⊥B1B2, 垂足為O，A′1A′2⊥B′1B′2, 垂足為O′ ；這實際上是將原木抽象為直線OO′ 的過程(O及O′未必是原木兩頭橫截面中心，橫截面也未必是圓面).

圖4

其次，分別在OB1,OA2(或O′B′1,O′A′2)上取A,B(或A′,B′)，使得OA=OB(或O′A′=O′B′)，連接AB(或A′B′)，并找出AB(或A′B′)的中點C(或C′)，連接OC(或OC′)其延長線與橫截面的邊緣交于R(或R′)，用墨線連接RR′.

再次，分別在OR,OA1(或OR′,O′A′1)上取H,D(或H′,D′)，使OH=OD(或O′H′=O′D′)，連接HD(或H′D′)，并找出HD(或H′D′)的中點F(或F′)，連接OF(或O′F′)，在HD(或H′D′)上取G,E(或G′,E′)，使OF=FG=FE(或O′F′=F′G′=F′E′)，連接OE,OG(或O′E′,O′G′)其延長線與橫截面的邊緣交于V,N(或V′,N′)，用墨線分別連接VV′,NN′.

最后，在A1A′1,RR′,VV′,NN′上的任一指定位置M′,X,P,Q上沿直線OO′ 垂直相交的方向鉆孔(鑿柱眼)，兩孔(柱眼)XO″及M′O″ 所確定的方向成135°角，XO″及QO″和M′O″及PO″ 所確定的方向都成22.5°角，四根主承柱按同一方法完成后，用等長的木枋與柱連接起來得到正方形，另外四根副承柱制作過程和正八邊形制作過程完全一致，再用等長的木枋把主承柱和副承柱連接起來即可得到內部是一個正方形，而外部是一個與正方形同心的正八邊形.

圖5

建造一個平面結構圖為正六邊形(如圖5)的風雨橋亭、塔時，其方法與上面(圖4)類似，但不同的是在原木的橫截面上分別吊垂線A′D′及H′G′，且A′D′⊥H′G′垂足為O，在A′D′上取OB=OE，再分別取OB,OE的中點G,H,過G,H分別作A′D′的垂線F′B′,G′C′.取OA=OB交F′B′于A,過A,O作直線交C′E′于D.用同樣的方法分別在F′B′,G′C′找到另外兩點C,F,最后依次連接A,B,C,D,E,F就得到一個正六邊形.

2 以風雨橋為載體的侗族數學文化

風雨橋是侗族橋梁建筑的明星，是侗族建筑文化藝術的結晶.它與侗族同胞平時的物質與精神生活密不可分.它也是記載著侗族千百年橋梁建筑歷史文化的一本木建實物書.隨著時間的推移，歲月的變遷，風雨橋亭、塔的造型也發生了相應的變化.如此精致的建筑，整體以杉木做柱,枋,鑿榫銜接，橫穿斜套，縱橫交錯，結構嚴謹且牢固，卻不用一釘一鉚，其中蘊涵著豐富的數學文化.

2.1 風雨橋建造技術中的比例關系

下方上八角攢尖亭、塔的建造，涉及到正方形的邊長a與正八邊形的邊長b的計算.在今天可以用公式a=2bsin67.5° 表示.顯然67.5° 不是特殊角，計算結果無疑是取其近似值.但古代侗族對角度的概念并不是十分清晰，對此，他們有自己的計算方法：

圖6

圖6是亭、塔正八邊形和正方形在平面上的正射影，已知正方形的邊長AB的長度，則邊長AC和DC確定是通過公式：

AC∶AD∶DC=13∶12∶5

(1)

2.2 “二分法”在風雨橋建筑技術中的應用

建造六角亭、塔，需要制作正六邊形.進一步調查發現與黔東南毗鄰的三江縣境內有部分建筑師傅用“二分法”去近似地6等分圓周，這是古代侗族對角度概念尚未完全掌握的歷史條件下6等分圓周的近似方法.其具體過程如下：

圖7

首先，在圓柱形(實際上是不規則的)木料底面(如圖7)上作線段PQ及中點O，過O作A′B′⊥PQ垂足為O，取OA=OD.

最后，依次連接A,B,C,D,E,F就得到一個正六邊形(如圖7所示).就這樣，實現了6“等分”圓周的目的，且每個角的誤差都不超過15′18″.

2.3 風雨橋建造技術中的相關計算

圖8是正六邊形和正方形在平面上的正射影，建造下方上六角攢尖頂亭、塔(如圖9)，需要制作正六邊形和正方形.在實地采訪中得知建筑師傅在建造下方上六角攢尖頂亭、塔時，其正方形的邊長有專門的計算公式：

正方形的邊長=正六邊形的半徑×C(C為常數)

(2)

圖8

圖9

即圖中的AE=AF×C(僅以AE,AF邊為代表)，建筑師傅從長期的實踐經驗中發現C=1.75較為合適.如果按現代數學中三角函數方法來求，則在Rt△OPE中∠EOP=60°，

從而有EP=OPtan∠EOP，

因此取C=1.75與理論值相差很小，又因為在實際測量過程中也存在誤差，它顯然是一個較好的近似計算公式.

2.4 風雨橋建筑結構中等差數列的運用

圖10

圖10是風雨橋中的亭、塔正六邊形在平面上的正射影，在采訪中得知建筑師傅在建造六角攢尖亭、塔時，其正六邊形的邊長自下而上成遞減等差數列.其邊長的計算方法如下：

A1B1=AB0-B0B1,A2B2=A1B1-B1B2,A3B3=A2B2-B2B3,…,AnBn=An-1Bn-1-Bn-1Bn，

其中Bn-1Bn=…=B2B3=B1B2=B0B1,n∈N+.不妨令a1=AB0,d=-B0B1.即就可以計算出第n個正六邊形的邊長為：

an=a1+(n-1)d,n∈N+

一般風雨橋亭、塔，自下而上每層翹檐遞減，從而正六邊形的邊長和木枋的長構成一個遞減等差數列.

綜上所述，因為師傅建造風雨橋亭、塔的地基大小不同，不同大小亭、塔其所制作正六邊形的邊長也各不一樣，建筑師傅通過這樣的推算，從而確定需要多少材料，以免浪費.這說明侗族人民在建造風雨橋亭、塔時能夠較好地利用“數列中按某一比例逐步增加或減少”的思想.

3 長度計算中的近似計算和單位的換算方法

圖11

圖11是風雨橋梁上的一個剖面圖(即人形架).從圖形上我們可以觀察到

Rt△OB1A1∽Rt△OBiAi(i=1、2、3、4)兩兩相似，并且它們有一個公共角O.只要學過正切的人都知道：AiBi=OBi·tan∠O.其中OBi的長度為已知.而侗族沒有文字,更無正切表可查,當然不知道tan∠O的值.然而侗族人民從長期的實踐中發現,只要給定一個常數C,用OBi分別去乘以C,就可以把AiBi求出來.在調查中,發現侗族人民實際生活中早就有了專門計算直角三角形對邊的通用公式,即:

直角三角形的對邊=直角三角形的鄰邊×C(C為正常數).

根據實際需要C可以取不同的值,聰明的侗族從長期的實踐經驗中發現風雨橋人形架中應取C=0.75.但侗族語言中沒有純小數,碰到整數部分為0時,將其放到下一個單位進行運算.于是取C=7.5,用市尺將OBi(i=1、2、3、4)表示出來,再分別把它們代入上式,就可以求出AiBi的長,且它們的單位是“寸”.這就是侗族人民在實際生活中處理純小數問題常用的方法.

圖12

而圖11在實際制作中,常做成如圖12那樣的流線形屋面,曲線盡可能接近擺線,這樣的設計不僅使建筑給人感觀上的美,而且能以最快的速度排水.

在風雨橋亭、塔建筑中，無論是四角、六角或八角亭、塔，近似計算都是無法回避的事實.例如，用比例的方法得到正八邊形，就是屬于近似計算問題.還有運用公式(2)計算正方形的邊長就是一個取邊長的不足近似的近似計算，誤差不超過0.018cm，在半徑不超過3m的塔頂上誤差不會超過5.4cm;建筑師傅對這樣的誤差全憑借長期的做工經驗，并根據柱頭的大小、半徑的長短來估計誤差大小進而去彌補不足，同時還利用杉木的韌性將連接兩柱頭的木枋做成如圖13的兩個“魚尾”彌補其不足，“魚尾”又起到掩蓋柱眼以增強建筑的美感和固定柱子位置的作用.真可謂巧奪天工.