點(diǎn)幾何的解題應(yīng)用：復(fù)數(shù)恒等式篇

彭翕成,張景中,2

(1.華中師范大學(xué)國家數(shù)字化學(xué)習(xí)工程技術(shù)研究中心 430079； 2. 廣州大學(xué) 計算科技研究院 510006)

數(shù)學(xué)大師陳省身先生認(rèn)為[1]，數(shù)學(xué)有“好”和“不好”之分.所謂“好”，就是意義深遠(yuǎn)、可以不斷深入、影響許多學(xué)科的課題；“不好”則是僅限于把他人的工作推演一番、缺乏生命力的題目.陳先生舉例，拿破侖定理很美，但深入研究之后發(fā)展有限，不是好的數(shù)學(xué)；方程是好的數(shù)學(xué).代數(shù)方程，不定方程，超越方程，函數(shù)方程，微分方程，各門科學(xué)技術(shù)離不開方程，意義深遠(yuǎn)，影響廣大，永遠(yuǎn)研究不完！

拿破侖定理這樣的問題好比珍珠,光彩奪目，賞玩起來愛不釋手.但一粒珍珠再漂亮也是一粒珍珠，它缺活力，難生長.而方程這樣的問題好比種子.種子不一定閃閃發(fā)光，不見得賞心悅目.可它是生命，有活力.它可能長成參天大樹，可能吐出萬紫千紅.在數(shù)學(xué)家眼里，種子比珍珠更可愛.話說回來，數(shù)學(xué)大師的話，雖然極有啟發(fā)性，卻也不是定理或法律.喜愛拿破侖定理的依然可以孜孜不倦.有人重視種子，有人收藏珍珠，世界是多樣化的.何況，兩者也不能截然分開，從拿破侖定理，也不是不能走向方程的[2].

圖1

圖2

例1如圖2，△ABC中,分別以三邊為邊長同時向外作正△CBF、△ACD、△BAE,其中O1，O2，O3分別是△CBF、△ACD、△BAE的重心,則△O1O2O3為正三角形.(拿破侖定理)

按點(diǎn)字母展開得

解方程

所以得到恒等式

說明：這樣的解法，要比從條件中求出D、E、F再代入計算繁瑣一點(diǎn).但如果注意計算技巧，由于方程個數(shù)比未知數(shù)個數(shù)要多，可先計算簡單方程，再代入復(fù)雜方程檢驗即可.得到恒等式之后，我們會得到更一般的結(jié)論：如圖2，△ABC中,分別以三邊為邊長同時向外作△CBF、△ACD、△BAE,其中O1，O2，O3分別是△CBF、△ACD、△BAE的重心,若△CBF、△ACD、△BAE、△O1O2O3其中三個為正三角形,則第四個也必為正三角形.

先將題目條件和結(jié)論代數(shù)化表示，然后通過待定系數(shù)法建立恒等式，將條件和結(jié)論聯(lián)系起來，不單可以證明原命題，還可以得到新的命題.其原理是，n項相加為0，其中若n-1項為0，剩余那一項必為0.下面我們給出更多的案例，以及對應(yīng)的恒等式，計算過程則略去.審查這樣的恒等式證明，無需一步步演繹推導(dǎo)，只要看每一部分是否對應(yīng)著一個題目條件(或結(jié)論)，然后判斷整個式子是否恒為0即可.

例2如圖2，分別以△ABC三邊為邊長同時向外作等邊△CBF、等邊△ACD、等邊△BAE,求證:△ABC是等邊三角形的充要條件是△DEF是等邊三角形.

恒等式暗示了更一般的結(jié)論:如圖2,分別以△ABC三邊為邊長同時向外作△CBF、△ACD、△BAE,求證: △CBF、△ACD、△BAE、△ABC、△DEF，若其中四個為正三角形,第五個也必為正三角形.

例3如圖3，△ABC中,∠BAC=90°,AC=2AB,點(diǎn)D是AC的中點(diǎn),將一塊銳角為45°的直角三角板如圖放置,使三角板斜邊的兩個端點(diǎn)分別與A、D重合,連結(jié)BE、EC.試猜想線段BE和EC的數(shù)量及位置關(guān)系,并證明你的猜想.(2011年四川中考題)

圖3

圖4

例4如圖4，BD,CE是△ABC的高,點(diǎn)P在BD的延長線上,BP=AC,點(diǎn)Q在CE上,CQ=AB,求證：AP=AQ，AP⊥AQ.

證明[(A-P)-(A-Q)i]-i[(Q-C)-(A-B)i]-[(B-P)-(A-C)i]=0.

例5如圖5，△ABC，以AB為斜邊向形外作等腰直角△DBA，以AC為斜邊向形外作等腰直角△ACE，F(xiàn)是BC中點(diǎn)，求證：△DFE是等腰直角三角形.(1996年愛爾蘭數(shù)學(xué)競賽)

圖5

圖6

例6如圖6，△ABC中，∠BAC=90°，DB⊥BC，且DB=BC，EB⊥BA，且EB=BA，DA、EC的延長線相交于F,求證AF⊥CF.

證明[(D-A)-i(C-E)]-[(D-B)-(C-B)i]+[(A-B)-(E-B)i]=0.

例7如圖7，過△ABC的邊AB、AC往外作兩個正方形ABEF、ACGH，P是EG的中點(diǎn)，則BP⊥CP且BP=CP．

圖7

圖8

例8如圖8，正方形ABCD內(nèi)作等腰△ABE,∠EAB=∠EBA=15°.求證:△CDE是正三角形.

例9如圖9，任意△ABC的邊上向外作△BPC,△CQA,△ARB,使∠PBC=∠CAQ=45°,∠BCP=∠QCA=30°,∠ABR=∠BAR=15°.求證:∠QRP=90°,QR=RP.(第17屆國際數(shù)學(xué)競賽題)

圖9

圖10

例10如圖10，四邊形ABCD,BE⊥AB且BE=AB,DF⊥AD且DF=AD,BG⊥BC且BG=BC,DH⊥CD且DH=CD.求證:若E,C,F共線,則A,G,H也共線.(葉中豪供題)

證明已知E,C,F共線,則可設(shè)sF+(1-s)·E-C=0，則有恒等式

例11如圖11，已知六邊形ABCDEF,以它的六條邊為底邊向外作正三角形△ABC1,△BCD1,△CDE1,△DEF1,△EFA1,△FAB1.若△B1D1F1為正三角形,證明△A1C1E1也是正三角形.

圖11

說明：△ABC1,△BCD1,△CDE1,△DEF1,△EFA1,△FAB1，△B1D1F1，△A1C1E1中，任意七個為正三角形,第八個必為正三角形.

例12如圖12，以四邊形ABCD的四條邊為底邊向外作等腰直角△BAA1,△CBB1,△DCC1,△ADD1.M、N、P、Q分別是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中點(diǎn),證明四邊形MNPQ是正方形.

圖12

圖13

例13如圖13，已知四邊形ABCD,E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn),以EF、FG、GH、HE為底邊向外作等腰直角△FEA1,△GFB1,△HGC1,△EHD1.證明四邊形A1B1C1D1是正方形.