算理理解：計算教學的重中之重

張平奎

算理可以簡單理解為計算過程中的道理，是指數學計算流程下的思考維度、思維方式。小學生對數學知識的理解不能僅停留于標準答案，標準答案得出之前的一系列運算步驟都需要形成邏輯思維的規律性總結，方能促使學生理解其中的算理結構與方法。知其然，更知其所以然，方能促進學生對數學問題的宏觀認知與微觀邏輯。故而，算理理解是小學數學計算教學的重中之重。

一、利用多元表征方式，促進算理理解

小學數學計算教學中加強學生對算理知識的深刻理解，首先需要從多元表征形式中提煉學生對數學運算機理的深刻感知。而算理知識本身也具備了多元表征的基礎條件，可以借助不同的表征形式加工處理，令其產生便于學生理解的關聯知識。

1.表征思維構建

教師幫助學生建立對計算題的多元表征形式，可激活學生的心理表征認知，將抽象的數學問題形象地表達出來，引發學生對計算流程的深刻思考。以小學數學中“分香蕉”的例題教學為例，從中能夠發現情境信息構建了學生對計算問題的形象認知，教師可以提出相應問題，加深學生對計算問題的邏輯思維構建。如小猴子需要將香蕉分給3位小伙伴，12根香蕉怎么分配才最為合理，才不會讓小伙伴失望。這樣設計教學問題，將香蕉的平均分配作為表征形式，能夠讓學生設身處地地思考平均分配的運算機理。同時追加問題：同學們是否可以動手畫一畫12個香蕉在分配之后的具體形式？追加問題強調了動手操作的規律性總結，讓學生對表征實物產生深刻記憶。故而后續講解12÷3=4或3×4=12的運算機理更為便捷和清晰，可令學生對算理知識產生形象認知。

2.表征活動參與

在實踐性的教學活動中，教師可依據本節課所講授的算理知識點，選取契合學生理解能力的表征形式，進而增強學生對數學計算邏輯思維的感官認知。如“分糖果”“分蘋果”“分物游戲”等。不同的表征形式令教學活動的導向性更為具體，可支持學生對算理知識的個人理解，并演化為學生的運算經驗。學生在畫出表征圖示后，教師也可以引導學生反思其中的算理知識。如A學生畫出：“（ОООО）+（ОООО）+（ОООО）”，B學生畫出：“”，C學生畫出：“”，等。教師可以引導學生用個人語言進行描述。如A學生表示：用小圓片代表香蕉，先給出4個，再給出4個，最后一位小伙伴剩下4個，這樣他們分得的香蕉是一樣多的。B學生和C學生分別表示：12個香蕉分成3等份，每個小伙伴都分到了相同數量的香蕉才會更公平。學生依據個人理解，對平均分配的計算問題進行了語言表征描述，形成了更為多元的表征記憶，對運算邏輯的理解具有幫助作用，故而算理理解也會更為深刻和形象。

二、創設貼近生活的教學情境，促進算理理解

1.情境化教學描述

借助更為貼近學生日常生活情景的元素，對數學問題進行總結，可幫助學生理解其中的運算機理。教學過程中，需要將生活化思維引入課堂，構建生活化的數學問題解讀方式，引導學生從生活情景中感知計算問題的內在聯系，引導學生從生活情景中發現解題規律。類似的教學方案在小學數學教學中經常使用，如上述“猴子分香蕉”的生活化情境構建，便是普遍采取的生活化教學方法。

2.復雜情境算理思維

通常情況下，小學數學對復雜的數學計算問題很難找到生活化情境的構建方式，因此，可提供可視化程度更高的直觀教學素材，引導學生借助常用工具驗證數學計算結果，逐漸培養其算理理解能力。

如圖1所示，一個正方形由4個三角形組成。綠色三角形的面積為長方形的15%，黃色三角形的面積為21cm2，求長方形總面積。

類似問題主要考察學生的思維轉化能力，雖為圖形題，但本質上是對學生計算能力的考察。常規的解題思路為：綠色與黃色三角形的底邊相等，均為長方形的長，其高度之和為長方形的寬。因此，綠色與黃色三角形的總面積為長方形面積的，由于綠色三角形的面積為長方形面積的15%，故而黃色三角形的面積為長方形面積的50%-15%=35%。依據黃色三角形面積21cm2的已知條件，可求得長方形面積為：21÷35%=60cm2。

3.生活化教學工具引入

仍然以上題為例，如果學生不具備較強的圖形分析能力。就需要將該計算問題轉化為與學生日常生活情景更為貼近的形式，幫助學生理清其中的算理規律。而最為直接、簡單的教學方式，便是將上述圖形直接以實物提供給學生。教師可以將圖1用A4紙制作成等比例大小的教學工具，在課堂之上分發給學生。學生運用格尺測量了每一個三角形的邊長，分別計算出不同顏色的三角形的面積。而后對三角形面積進行疊加，驗證了此前的運算結果。將學生直接帶入生活化情境，通過手工操作構建了生活化思維，驗證了計算結果的正確性，逐步培養學生對算理理解的生活化感知，對促進算理理解必然有益。

三、培養學生推理分析能力，促進算理理解

數學計算問題往往是對現實問題的規律性總結，但是相對抽象的計算形式，往往令學生感到模糊，并不容易產生對算理知識的正確認知。那么在闡述復雜的計算題型時，往往需要培養學生的推理分析能力，方能真正促進學生對算理邏輯的理解與認知。

1.分步講解運算邏輯

以行程問題為例，甲、乙兩輛汽車從A、B兩地出發，相向而行，甲的速度為50km/h，乙的速度為60km/h，三小時后兩車相遇，那么A、B兩地的實際距離為多少千米？

在課堂之上，如果學生并未第一時間得到運算結果，亦或對計算方法和路徑并未快速厘清。教師可以將上述計算題轉化為生活情境問題，引導學生推導出汽車行駛狀態下可能產生的合計路程。教師描述，同學們坐在甲汽車上3小時跑了多遠？學生紛紛作答：跑出了150千米。此時教師可再次提問，如果同學們在乙汽車上3小時又能跑出多遠呢？同學們再次作答：跑出了180千米。教師最后提出問題：同學們思考一下，坐在甲汽車里跑出的距離，加上坐在乙汽車里的距離，是不是正好是A、B兩地的距離呢？這樣一來，學生就明白了。

2.四則運算規律引導

但是上述算理知識的理解維度，僅停留于分步算法的推理、分析、總結，并未延伸至混合運算的等式結構的推導過程。此時教師對相向行駛問題再次提出假設：同學們想象一下，如果甲乙兩車相遇的地點為C，那么從A到C，從B到C，是否可以理解為（AC+BC）×3h的運算方式？這樣的講解方式，相當于對生活情景的再次總結，學生可間接推導出不同形式的等式結構，在分步運算的基礎上，也可以描述為：（50km/h×3h）+（60km/h×3h），或者3h（60km/h+50km/h）。學生在設身處地的思考了生活情景之下的計算問題之后，總結出四則運算法則的算理知識點，是從自身角度推理路程可能產生的不同運算方式。對算理知識的理解更為深刻，有助于形成更為鞏固的算理理解并加深印象。

四、加強課堂練習，促進算理理解

數學知識在算理維度中的深刻認知，必須經過長期訓練，達到一種對計算規律的深層思維認知。那么加強課堂練習，必然是促進算理理解的重要教學方向。仍以“分香蕉”的教學案例進行說明，當學生已經畫出平均分配結果之后，并不代表此時學生已經產生了隨機轉化運算方法的能力。那么對數學計算知識的總結，并不能僅停留于此。教師需要再次追加問題，引導學生思考在原始數據變化之后的運算方法，總結算理知識的深層內涵。例如：猴子發現三位小伙伴也很喜歡吃香蕉，又拿出了18個香蕉，那么接下來應當如何平均分配。為學生提供反復運算題型，可鞏固學生的算理認知，并掌握其中的運算規律。再如：三位小伙伴每人吃了一個香蕉，發現很好吃，又叫來一位小伙伴，那么剩下的香蕉怎樣分配更為合理。學生發現12-3=9，現在每個小伙伴都剩下3個香蕉，而分給四個小伙伴每人2個，仍然剩余1個香蕉。此時，教師便可提出“除法余數”概念，對算理知識點進行延伸性的講解，加強學生對數學計算問題的深層次思考，總結出更為真實的運算規律，剖析數學問題本質特征，理解算理內涵及在特定情況下的思維轉化方式。

綜上所述，算理理解是小學數學計算教學的重中之重。在實際教學中，教師可依據學生所處的年齡段，亦或本班的實際學情，設計契合學生認知規律的課堂教學內容，通過細微調整教學方法或展現形式，引導學生對計算問題進行深刻反思，鞏固學生對算理知識的理解，達到小學數學計算類課程預期的教學效果，提高計算教學的質量與水平。

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[責任編輯：陳國慶]