重視從“解題”到“解決問題”能力的培養

廣東

隨著高考命題改革的深入，高考數學秉承“多考如何想，少考如何算”的命題理念，越來越重視對考生數學思維能力的考查.從2019年數學高考大綱傳遞出的信息來看，預測2019年高考會把考查的重點轉移到對數據的分析、理解和找規律上，減少繁雜的運算，突出對數學思想方法的理解和運用，注重對考生從“解題”走向“解決問題”的能力的考查.

在緊張的高考考前備考階段，使復習取得事半功倍的效果，無疑是廣大師生熱切盼望的事.但問題在于，在高考臨近的情況下，我們的教學將如何培養學生從“解題”走向“解決問題”的能力，使復習備考的成效更上一層樓呢？以下從三個方面談談認識，供老師們指導學生復習時參考.

一、突出“問題變式”，培養數學思維的深刻性

解決問題是高考數學的“主旋律”，在臨考前的教學中，對一些典型試題，先來“解題”，然后引導學生進行變式，延伸出一類問題，從而走向“解決問題”，達到提高復習效率的目的.下面以一道《教學考試》雜志社優師計劃項目研發試題為例.

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解析：本題是三角函數求值題，主要考查同角三角函數的關系、誘導公式和簡單的三角恒等變換等知識.

解法1.因為tan(2 019π+α)=3，所以tanα=3.

解法2.因為tan(2 019π+α)=3，所以tanα=3.

因為sin2α+cos2α=1，

這樣來看，解法2的計算量比解法1的計算量要小的多.不僅如此，我們通過解法2，還可以將題目的條件弱化，去掉“α是第三象限角”，便有下面的變式題.

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此變式真正體現出了“多考想，少考算”的高考命題思路.

由此我們可以提煉出這類問題的模型：已知tanα的值，求可化為關于sinα，cosα的齊次式的值.

以上過程很好地培養了學生從“解題”走向“解決問題”的能力.這樣的教學給一道題帶來的作用比刷數道題都要大.

二、重視“數學估算”，培養數學思維的敏捷性

“估算法”就是采用近似處理的手段來簡化解決問題的方法，它實質上是一種數學思維意識，以正確的算理為基礎，通過迅速、合理的觀察、分析、比較、判斷和推理，在眾多信息面前，尋求出一些有用的或關鍵的數學信息，達到對問題進行判斷、辨誤、探索、導向、顯隱、評價和優化的目的，從而使問題得到迅速地解決.“估算法”蘊含著數學抽象、數據分析、直觀想象和邏輯推理等數學核心素養，是一種較高層次的數學能力.作為數學三大題型之一的選擇題，由于其題型的特點，運用“估算法”有著得天獨厚的優勢.

因此，在高考備考的臨考階段，重視估算教學，加強運用數學估算法解數學選擇題的基本對策的研究和方法指導，對培養學生的數學素養和創新能力頗有裨益.

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解析：本題以球與三棱錐的組合為背景考查空間幾何體體積的計算，要明確球的截面性質，正確理解三棱錐體積最大時的情形.

解法1.三棱錐D-ABC的底面ABC位置確定時，高越大，體積越大，此時三棱錐D-ABC為正三棱錐.

從“解題”角度來看，解法1值得稱道.但這種解法需要首先求出等邊△ABC的邊長，再求△ABC外接圓的半徑，進而根據球的截面性質求出三棱錐D-ABC的高，最后求得體積的最大值，計算量很大.所以從“解決問題”的視角來看，還遠遠不夠.而下面的“估算法”可以彌補這點不足.

由此看來，“估算法”不僅是一種快速解題的方法，更重要的是與“多想、少算、快算”和“解決問題”的理念相契合.

三、強調“數學應用”，培養數學思維的廣泛性

把高考內容與國家經濟社會發展、科學技術進步和生產生活緊密結合，通過設置實際問題情境考查學生靈活運用所學知識分析和解決實際問題的能力，引導學生從“解題”走向“解決問題”是2019年高考命題的趨勢之一，高考數學應用問題承載著這一重要“使命”，而概率統計應用問題則是良好的載體，且難度有增加的趨勢.在高考命題中，應用題部分還將數據準備階段的步驟減少，為考生呈現比較規范的數據格式或數據的回歸模型.采取“重心后移”的策略，把考查的重點后移到對數據的分析、理解和找規律上，減少復雜的運算，突出對數學思想方法的理解和運用能力的考查，引導學生從“解題”到“解決問題”的能力的培養.

例3.(2018·全國卷Ⅱ理·18)如圖是某地區2000年至2016年環境基礎設施投資額y(單位：億元)的折線圖.

(Ⅰ)分別利用這兩個模型，求該地區2018年的環境基礎設施投資額的預測值；

(Ⅱ)你認為用哪個模型得到的預測值更可靠？并說明理由.

解析：(Ⅰ)利用模型①,該地區2018年的環境基礎設施投資額的預測值為

利用模型②,該地區2018年的環境基礎設施投資額的預測值為

(Ⅱ)利用模型②得到的預測值更可靠.

理由如下：

(ⅰ)從折線圖可以看出,2000年至2016年的數據對應的點沒有隨機散布在直線y=-30.4+13.5t上下.這說明利用2000年至2016年的數據建立的線性回歸模型①不能很好地描述環境基礎設施投資額的變化趨勢.2010年相對2009年的環境基礎設施投資額有明顯增加，2010年至2016年的數據對應的點位于一條直線的附近，這說明從2010年開始環境基礎設施投資額的變化規律呈線性增長趨勢,利用2010年至2016年的數據建立的線性回歸模型②可以較好地描述2010年以后的環境基礎設施投資額的變化趨勢,因此利用模型②得到的預測值更可靠.

(ⅱ)從計算結果看,相對于2016年的環境基礎設施投資額220億元,由模型①得到的預測值226.1億元的增幅明顯偏低,而利用模型②得到的預測值的增幅比較合理.說明利用模型②得到的預測值更可靠.(數據分析)

以上給出了2種理由,考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分.