減元借參，構(gòu)造函數(shù)解決雙極值點(diǎn)問題

廣東

雙極值點(diǎn)問題在近幾年高考及各種模擬考試中，常作為熱點(diǎn)和重點(diǎn)題型考查. 此類問題變化多樣，有些題型不含參數(shù)，但更多的題型含有參數(shù). 雙極值點(diǎn)其本質(zhì)為函數(shù)的雙零點(diǎn)，是一個(gè)多元數(shù)學(xué)問題，不管待證的是兩個(gè)變量的不等式，還是導(dǎo)函數(shù)的值的不等式，解題的策略都是轉(zhuǎn)化為一元變量問題求解，途徑都是構(gòu)造一元函數(shù). 含參數(shù)的極值點(diǎn)問題，在原有的兩個(gè)變量x1,x2的基礎(chǔ)上，又多了一個(gè)參數(shù)，解題思路自然就會(huì)想到消參數(shù)，從而轉(zhuǎn)化成不含參數(shù)的問題去解決；或者以參數(shù)為媒介，構(gòu)造出一個(gè)變量的新函數(shù). 下面本文逐一探索解題策略.

一、轉(zhuǎn)化為x1或x2的一元函數(shù)

思路：極值點(diǎn)的本質(zhì)為導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn).對(duì)于雙極值點(diǎn)，則有f′(x1)=f′(x2)=0，借助此特殊關(guān)系，可把關(guān)于x1,x2的二元函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x1或x2的一元函數(shù)問題，進(jìn)而構(gòu)造新函數(shù)，研究新函數(shù)的單調(diào)性和最值即可得到結(jié)論.

(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性；

(Ⅰ)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(Ⅱ)若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2，記過點(diǎn)A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))的直線斜率為k,問：是否存在a，使得k=2-a？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由.

二、轉(zhuǎn)化為第三變量的一元函數(shù)

思路：原函數(shù)解析式一般含有第三變量a，若導(dǎo)函數(shù)的本質(zhì)為二次函數(shù)，則兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2和a之間存在韋達(dá)定理關(guān)系；若導(dǎo)函數(shù)的本質(zhì)不是二次函數(shù)，也會(huì)有f′(x1)=f′(x2)=0，借助此方程關(guān)系，也把待解決的問題轉(zhuǎn)化為自變量為a的函數(shù)，研究其單調(diào)性和最值解題.

(Ⅰ)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；

(Ⅰ)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(Ⅱ)設(shè)f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為x1,x2，若不等式f(x1)+f(x2)<λ(x1+x2)恒成立，求λ的最小值.

三、化歸為統(tǒng)一結(jié)構(gòu)，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)

例5.(節(jié)選自2010·天津卷理·21)已知函數(shù)f(x)=xe-x(x∈R)，如果x1≠x2，且f(x1)=f(x2)，證明：x1+x2>2.

(Ⅰ)若函數(shù)f(x)在(0，+∞)上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

(Ⅱ)若函數(shù)f(x)在(0，+∞)上存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且x12.

四、兩邊分別變形為x1,x2的相同結(jié)構(gòu)式，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)

思路：雙極值點(diǎn)問題，除了轉(zhuǎn)化為單一變量函數(shù)，還可以保留雙變量，分別對(duì)不等號(hào)兩邊進(jìn)行變形，當(dāng)兩邊結(jié)構(gòu)一致時(shí)，轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的單調(diào)性問題，進(jìn)而構(gòu)造新函數(shù)也可得到結(jié)論.

例7.(節(jié)選自2016·全國卷Ⅰ理·21)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2，證明：x1+x2<2.

例8.已知函數(shù)f(x)=x2-2x+alnx.

(Ⅰ)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(Ⅱ)若函數(shù)f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2，且x1x2f(x1).

五、利用對(duì)數(shù)平均不等式鏈

例9.題目同例1.

分析：(Ⅰ)見例1；

例10.題目同例7.

由(x1-1)2+(x2-1)2>0,4-(x1+x2)>0得x1+x2<2，證畢.