對高考母題的整合與辨析

重慶

聚焦高考母題，對其實施“二次開發”——整合與辨析，搞好變式訓練，能較好地體現一個人的思辨能力和思考的深度.要搞好同類試題對比研究和變式教學，那么師生就要在平常教與學中，注意收集與整合，辨析與提煉相關素材.這樣一來，勢必對學生的思維發展有利，對教學也會起到事半功倍的效果.下面我摘取一組試題來深度解讀“整合與辨析”的思路，分享給大家，以便對學生的心智有所啟發，僅供參考，不當之處，請予以批評指正.

一、對試題的整合與改編

例1(母題)(2013·全國卷Ⅰ理·15)設當x=θ時，函數f(x)=sinx-2cosx取得最大值，則cosθ=________.

點評：思路1是通性通法，主要考查輔助角公式的運用.

點評：思路2是導數在三角函數中的典型運用，但對符號的判斷要求較高.

點評：思路3簡潔明了，理解透徹,巧用“方程思想”解決問題.

如果我們對例1進行適當改編，就可以得到以下2018年全國卷高考試題：

例2(母題)(2018·全國卷Ⅰ理·16)已知函數f(x)=2sinx+sin2x,則f(x)的最小值是________.

思路1：注意到f(x)的最小正周期為2π，在[0，2π)內考慮最值.

點評：由于函數有具體解析式，可以利用導數法求解.

點評：同思路1，基本思路相同，只是適當采用了“換元法”.

點評：現在的高中生對這種解法不熟悉，甚至可能不知道，可供有余力的同學學習.

思路4：(均值不等式)因為f(x)=2sinx+sin2x為奇函數，

=2sinx(1+cosx)

點評：這個要求學生的能力較高，對尖子生的選拔很有幫助.

思路5：因為f(t)=sin2t+2sint,令a=sint,b=cost，則z=f(a,b)=2ab+2a,約束條件a2+b2=1,構造拉格朗日函數L=2ab+2a+λ(a2+b2-1)(λ≠0),

點評：本思路運用了高等數學背景知識，高中生掌握不了，但可以提供給他們，讓他們感受數學方法的靈活多變，滲透給學生從不同角度解決問題的意識和理念.

點評：本思路同思路5，運用了高等數學背景知識，高中生掌握不了，但可以提供給他們，讓他們感受數學方法的靈活多變，滲透給學生從不同角度解決問題的意識和理念.

思路7：f(x)=2sinx+sin2x

=2sinx(1+cosx)≥-2|sinx|(1+cosx)

點評：本題先用了放縮法，然后利用了均值不等式解決問題，十分巧妙.

( )

A.0 B.2

(讀者可自行完成改編2，答案選C)

二、對試題的辨析與感悟

1.本文例1是針對y=asinx+bcosx(或y=acosx+bsinx)型研究其最值或值域問題，解題方法靈活，可以用輔助角公式法求解，也可用導數法求解，其中導數法解，思路3結合“解方程思想”，巧妙回避了思路2中判斷符號的問題，顯然是一種好方法.

2.本文例2是針對y=asinwx+bcosx(或y=acoswx+bsinx，或y=acoswx+bsinwx,w≠1)型研究其最值或值域問題，解題方法更加靈活，用到的思想方法有①數形結合法，②導數法，③換元法，④萬能公式法，⑤均值不等式法，⑥構造拉格朗日函數法，⑦Jensen不等式法，⑧放縮法.雖然有些方法有高等數學的背景，但對學生的視野拓展是有利的.

3.這兩個母題分別是2013年，2018年全國理科數學卷Ⅰ的高考試題.可以作為y=asinx+bcosx(或y=acosx+bsinx)型，y=asinwx+bcosx(或y=acoswx+bsinx，或y=acoswx+bsinwx,w≠1)型專題研究.在此基礎上，可適當作出改編與拓展.

4.有了上面的鋪墊，若將“+”改為“·”，那么我們再來看看，又有些什么感悟呢？

三、對試題的整合與辨析的反思