從一道圓錐曲線解答題談解析幾何備考策略

甘肅

2018年數學全國卷Ⅲ理科第20題總體上保持了近幾年來的命題特色，是一道直線與橢圓的位置關系的問題，并以中點弦問題為依托，主要考查了直線與橢圓的位置關系以及等差數列，體現了高考試題在知識交匯處命題的特點，考查了數形結合思想，也考查了考生的數學抽象、邏輯推理和數學運算的核心素養.其中，第(Ⅰ)問容易入手，第(Ⅱ)問難度較大，前后兩問之間有很好的梯度性，具有很好的選拔功能.本文對這道試題進行解法、源頭和變式探究，并結合這道試題來談一下解析幾何的備考策略.

一、真題再現

二、解法探究

則Δ=64k2t2-4(4t2-12)(3+4k2)>0，得

4k2+3>t2， ①

因為m>0，所以t>0，k<0，

整理可得(3cos2α+4sin2α)t2+(6cosα+8msinα)t+4m2-9=0，

由t的幾何意義知|MA|=|t1|，|MB|=|t2|，因為點M在橢圓內，這個方程必有兩個實根，

因為M(1,m)，F(1,0)，所以P的坐標為(1,-2m)，

【解法賞析】第(Ⅰ)問的證法1運用了點差法，點差法可以看成破解圓錐曲線中點弦問題的通法；第(Ⅰ)問的證法2運用了線參法，將直線方程和橢圓方程聯立后運用韋達定理和坐標運算，發揮判別式的制約作用；第(Ⅰ)問的證法3運用了參數方程法，令人耳目一新.第(Ⅱ)問既運用了點差法，又運用了線參法，利用等差中項的定義證明了等差數列，體現了函數與方程、化歸與轉化的思想.從以上可以看出，選擇的解法不同，運算的繁瑣程度不同.本題中的運算是借助幾何圖形進行的代數運算，考查了運算求解能力，體現了數學運算的核心素養.解析幾何的運算通常集“繁、長、巧”于一體，讓很多同學望而生畏.究其原因，主要是同學們在運算量的判斷上出了問題，不能預估所選的解題方法會有怎樣的運算量.若在解題過程中，同學們能認識到解題環節產生的運算，并通過分析進行合理的調控，更深入地理解運算方法，這樣就可以提高運算的靈活性.

三、源頭探究

“問渠那得清如許？為有源頭活水來” .接下來探索這道題的源頭，揭開這道題的“廬山真面目”.

1.源頭1

(1)這組直線何時與橢圓相交？

(2)當它們與橢圓相交時，證明這些直線被橢圓截得的線段的中點在一條直線上.

真是“眾里尋它千百度，那題卻在課本習題處”,也體現了“高考題源于課本，高于課本”.

2.源頭2

在歷年高考真題中，也有該高考題的“影子”：(2015·全國卷Ⅱ理·20)：

已知橢圓C：9x2+y2=m2(m>0)，直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M.

(Ⅰ)證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；

通過探源，我們發現這道題既可以看成改編自課本，也可看成改編自歷年高考真題.

四、變式探究

圓錐曲線有很多類似的性質，筆者模仿命題者的命題思路，對以上試題進行改編，得到一道變式題.

變式已知斜率為k的直線l與拋物線C：y2=4x交于A,B兩點，線段AB的中點為M(1,m)(m>0).

(Ⅰ)證明：k>1；

因為點M在拋物線C內，所以m2<4，結合m>0，所以0

所以k>1.

(Ⅱ)由題設可得F(1,0)，設P(x0,y0)，

所以x0=1，y0=-2m，

因為點P在拋物線C上，所以(-2m)2=4，解得m=1，所以P(1,-2)，

k=2，

所以直線l的方程為y-1=2(x-1)，即y=2x-1，

五、對2019年備考策略的建議

1.回歸課本，夯實基礎，構建知識網絡

近幾年高考數學試題遵循“大穩定，小創新”的方針，重視基礎知識和基本技能的考查.同時，通過上面對圓錐曲線真題的分析，發現該真題源自課本.因此回歸課本應貫穿圓錐曲線復習的始終.因為課本是數學知識的“生長地”，課本是高考復習的“根據地”，課本是高考試題的“策源地”，回歸課本是高考復習的起點，從高考的要求出發，把課本熟化，公式定理能信手拈來，基本題型能“借題發揮”.在回歸課本的基礎上，要著重強化對知識的梳理、優化知識結構、構建知識網絡.

2.注重通性通法

高考中解析幾何試題通常是對常見題型進行加工改編，通過對基礎知識的整合、變式和拓展，加工為高立意、新情境、巧設問的解析幾何問題，堅持新題不難，難題不怪的命題方向.這要求同學們通過高中的學習掌握基礎知識、基本概念、基本技能和基本數學思想，通過對教材中基本例、習題的變通，積累常規問題的解法，反復體會其中蘊含的思維方法.把解題方法提高到數學思想的高度，提高分析和解決綜合問題的能力.例如，對于圓錐曲線的中點弦問題，要優先考慮點差法.對于求橢圓離心率的題目，大多要利用數形結合法，結合橢圓的定義求解.對于拋物線的焦點弦和焦半徑問題，要根據焦點弦公式和焦半徑公式，并結合拋物線定義求解.在求橢圓的弦長時，利用弦長公式，運用設而不求的方法求解.

3.提高數學運算求解能力，培養數學運算的核心素養

高考數學答卷中反映出的問題之一是部分考生的運算能力差，有的考生想的很好，但運算不過關，一遇到復雜試題，從一開始就錯，并且自己沒有自查能力，一直錯到底.而出錯的原因往往很明顯，就是諸如一個符號的問題，直線方程和圓錐曲線方程聯立化簡整理時出錯.數學運算能力的培養不僅僅是高三復習的事，更應該貫穿于高中數學學習的始終.特別是解析幾何解答題，綜合性強，代數推理和運算求解能力要求高，繁雜和冗長的計算是必不可少的，因此同學們要通過強化數學思想方法，特別是函數與方程、數形結合、等價轉化、分類討論等的理解與應用，從而提高自己的運算求解能力，培養自身的數學運算核心素養.

4.研究歷年高考真題，體會命題專家的命題思路

高考試題不僅具有選拔功能，還具有很好的教育功能.高考試題凝結了命題專家的智慧與匠心，具有較強的原創性與指導意義，有利于考查考生的探究意識與創新精神.有部分高考試題是往年真題的同類題或“翻版”， 因此，在平時的學習中，對高考試題進行適當發散研究，不僅可以理清脈絡，把握高中數學主干知識，避免高三復習的隨意性、盲目性，而且可以有效訓練考生的數學思維，提高探究能力，培養創新意識.

5.重視選修知識，關注知識交匯