深度思考2018年全國卷Ⅰ文科第15題

廣東

《普通高等學校招生全國統一考試大綱》(以下簡稱《考試大綱》)要求學生能夠根據給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關系，能夠用直線和圓的方程解決一些簡單的問題，初步了解用代數方法處理幾何問題的思想.雖然在近幾年高考中“直線與圓的位置關系”的考題多為簡單題或中檔題，突出對基礎知識與基本技能的考查，但既源于基礎，又高于基礎.考題不僅以選擇題、填空題的形式出現，而且出現在解答題“坐標系與參數方程”之中，所以“直線與圓的位置關系”是一個大家需要高度重視的考點.

由于《考試大綱》是高考命題的依據，考題承擔著落實《考試大綱》要求的任務，所以大家在備考“直線與圓的位置關系”的過程中，深度思考“2018年全國卷Ⅰ文科第15題”是十分必要的.本文重點闡述該如何對“2018年全國卷Ⅰ文科第15題”進行深入的研究，希望為師生備考2019年高考提供有益的借鑒.

一、考題及其解法

考題(2018·全國卷Ⅰ文·15)直線y=x+1與圓x2+y2+2y-3=0交于A,B兩點，則|AB|=________.

評注：本題考查的是直線與圓相交所成的弦長問題，難度不大，屬于中檔題.雖然解答此類問題有三種方法：“代數法”“幾何法”和“參數法”，但是從上述的解答過程中不難發現：“幾何法”是相對比較簡單的方法.

二、如何確定直線與圓相交的位置關系

1.判斷直線與圓相交的三種方法

變式1：已知直線y=x+1與圓x2+y2+2y-3=0，則直線與圓的位置關系為________.(相交，相切或相離)

2.判斷直線與圓錐曲線相交的通性通法

解法二(特殊法)：由于直線過定點P(-1,0)，并且定點P在橢圓內，所以過橢圓內定點的直線必與橢圓相交.

評注：判斷直線與圓的位置關系通常有兩種方法：“代數法”和“幾何法”，當然也可以靈活運用類似上述的“特殊法”.雖然用“幾何法”判斷直線與圓的位置關系是相對較好的方法，也是教師優先向學生推薦的方法，但可惜的是，它不能推廣到判斷直線與圓錐曲線的位置關系，而“代數法”卻可以.

三、如何求直線與圓錐曲線相交所成的弦長

評注：求解“直線與圓相交所成的弦長問題”有三種方法：“代數法”“幾何法”和“參數法”，并且教師優先向學生推薦的方法是“幾何法”，但是求解“直線與圓錐曲線相交所成的弦長問題”的通性通法卻是“代數法”和“參數法”.

四、還可以怎樣對該題進行變式

1.過圓心的直線與圓相交

2.直線與圓相交的綜合問題

變式5：已知直線l:y=x+m與圓C:x2+y2+2y-3=0交于A,B兩點，且AC⊥BC，則實數m的值為________.

解法二(幾何法)：由于AC⊥BC，所以△ACB為等腰直角三角形.

3.直線與圓相切

變式6：已知圓C:x2+y2+2y-3=0，過點A(m,0)的圓的切線僅有一條，則過點A的圓的切線方程為________.

4.直線與圓相離

變式7：已知點A是圓C:x2+y2+2y-3=0上的動點，直線l:y=x-5，則點A到直線l的距離的最小值為________.

評注：“直線與圓相交”是高考的一個重要考點，?？嫉挠校骸芭袛嘀本€與圓相交”“求弦長”和“與其他知識的綜合問題”.大家從上述的解答過程中不難發現，用“幾何法”解決上述問題是相對較好的方法.筆者認為：除了“直線與圓相交”之外，大家也必須理解“直線與圓相切”和“直線與圓相離”的相關知識，并熟悉掌握其解題方法.

五、怎樣出現在“坐標系與參數方程”之中

變式8：(2018·全國卷Ⅰ文·22)在直角坐標系xOy中，曲線C1的方程為y=k|x|+2.以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ2+2ρcosθ-3=0.

(Ⅰ)求C2的直角坐標方程；

(Ⅱ)若C1與C2有且僅有三個公共點，求C1的方程.

評注：在近幾年的高考全國卷中，“直線與圓的位置關系”不僅以選擇題或者填空題的形式出現，而且常出現在“坐標系與參數方程”之中，例如上述2018年全國卷Ⅰ文科第22題實際上就是“直線與圓的位置關系”的綜合問題.