例談三輪復習深度挖掘教材的基本策略
——以“函數的基本性質”復習課為例

云南

備考階段，尤其是最后的沖刺階段，跳出題海回歸課本是高中數學三輪復習備考的主旋律.如何回歸，應該從教材里挖掘些什么，怎么挖掘？這是廣大一線備考教師和學生應該重點思考的問題，筆者近期開展了以《函數的基本性質》為題的一堂三輪復習課，就課例開展的一些做法和收獲談三輪復習深度挖掘教材的基本策略.

1.有目的的整合教材例題和習題

三輪復習開始的時候，對高中數學基礎知識和基本技能都已經有過系統的復習回顧，學生也已經做過大量的練習題和模擬測試，學生對基礎知識和基本技能的掌握已經達到一個相對穩定的水平，對具體某個知識點的考題呈現方式也已經有了一定程度上的經驗積累，初步了解了具體某個知識點的考查方式；此時就需要引導學生將復習的重心轉移到教材上，認真閱讀教材，對教材的例題和習題進行分類整合，可以將考查單一知識點和辨別屬性的練習題歸為第一類，具有探究意味的例題和練習題歸為第二類，基于學生已有知識經驗在學生的最近發展區里重點研究第二類問題.

2.精選典型習題作為變式題源

每年高考之后總有很多教師就高考題做一些題源分析，所發表的文章大多都闡述一個相近的觀點就是高考題有很大一部分是教材例題或習題的改編題，倡導高考的復習應該回歸教材，用好教材的例題和習題.要對教材進行深挖，就要在對教材例題和習題進行分類整合的基礎之上，就第二類問題進行比較研究，選取典型的、聯系性較強的一個或者幾個問題通過引導學生開展合作探究進行適當改編，旨在挖掘數學問題的本質屬性并總結問題呈現的基本方式，要學會脫去數學問題的馬甲看本質，還要能夠給數學知識換上新的馬甲實現合理變式.

3.認真研讀課程標準確保方向不偏

課程標準是教學和考試的綱要，認真研讀才能保證方向明確，做到不偏不倚，這是提高復習備考效率的關鍵，它決定了開展變式研究的方向和變式的度，有利于我們把握應該從何處開展變式到哪里結束，避免為變而變，防止剛從題海戰術中出來又換種途徑再次深陷題海戰術的悲劇上演.

4.通過合作探究充分發揮學生的創造性

學生是學習的主體，更何況該階段的學生已經具備自主開展變式的能力，而且面臨時間緊任務重的雙重壓力，向課堂要質量就必須落到實處，所以教師在給出變式題源之后首先應該引導學生獨立解決題源，接著引導學生開展合作探究，發揮集體智慧的力量，共同投身于對題源的研究和深化變式.這樣的課堂是具有生機與活力的，在確保學生動手實踐的同時重在體現思維的活動，教師緊盯課堂，適時評價總結，既發揮了集體力量也提升了學生的創造性和創新意識.

5.突出多題一解，實現知識與能力的雙重提升

基于題源進行一題多解的嘗試在于提升學生綜合運用所學知識從不同角度分析并解決同一個問題的能力，開展變式教學的目的在于將問題進行適當拓展，從多個知識角度賦予同一個數學問題的不同呈現方式，豐富學生的視野，拉近與高考命題的距離，感悟和揣摩高考命題的思想和過程.

以下是筆者近期的一堂復習課教學簡錄.

問題1(人教A版高中數學必修一39頁B組題第3題)已知函數f(x)是偶函數，而且在(0，+∞)上是減函數，判斷f(x)在(-∞，0)上是增函數還是減函數，并證明你的判斷.

設計意圖：這是課本習題中極具探究性的一個問題，通過解決這個問題可以引導學生發現并總結出處理一類數學問題的基本思想和方法，這有助于學生積累經驗；問題1可以用定義法證明，難度不大，證明過程略.

變式1(逆向變式)函數f(x)在(0，+∞)上單調遞減，(-∞，0)上單調遞增，則函數f(x)是偶函數么？請舉例說明.

設計意圖：設計逆向變式的目的在于發展學生的辯證思維，同時也是為了深化學生對函數單調性和奇偶性的理解；要求學生舉例說明的目的在于培養學生用身邊常見的具有代表性的例子去驗證一些命題的真假，學會使用一些具體直觀的函數圖象解釋抽象函數的一些局部性質.

變式2(變條件)已知函數f(x)是奇函數，而且在(0，+∞)上是減函數，判斷f(x)在(-∞，0)上是增函數還是減函數，并證明你的判斷.

變式3(變條件)已知函數f(x)是偶函數，而且在(0，+∞)上是增函數，判斷f(x)在(-∞，0)上是增函數還是減函數，并證明你的判斷.

變式4(變條件)已知函數f(x)是奇函數，而且在(0，+∞)上是增函數，判斷f(x)在(-∞，0)上是增函數還是減函數，并證明你的判斷.

設計意圖：變式2，3，4三個問題就是對原問題的補充和加強，希望通過對這幾個問題的證明和解決引導學生發現問題的本質及一般規律.

變式5(變情景)已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，有f(3)

設計意圖：有了對奇函數性質的進一步認識，可以考慮設計一些能用奇偶性解決的數學問題，旨在深化學生對函數奇偶性的理解.

變式6(一般化)證明：偶函數在對稱區間上單調性相反，奇函數在對稱區間上單調性相同.

設計意圖：以命題的形式給出函數的基本性質，嘗試引導學生給予證明，其實就是對學生前邊開展數學探究活動的總結和一般化，目的在于通過命題的證明加深學生的理解，也可以作為奇偶函數的一個基本性質識記并應用.

變式7(一般化)(1)已知奇函數f(x)在[a，b]上是減函數，試問：它在[-b，-a]上是增函數還是減函數？

(2)已知偶函數g(x)在[a，b]上是增函數，試問：它在[-b，-a]上是增函數還是減函數？

設計意圖：該變式就是對變式6的一般化描述和解釋，也是為了加深學生對函數對稱區間的理解.

至此，對奇偶函數對稱區間單調性的探究已經有了階段性的成果，接下來可以引導學生將剛剛獲得的知識經驗應用于數學問題的解決之中，以分段函數為背景不僅可以加深學生對分段函數本質的理解和把握，也可以對分段函數的圖象性質進行更加深入的研究.

問題2(人教A版高中數學必修一39頁習題1.3A組題第6題)已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f(x)=x(1+x).畫出函數f(x)的圖象，并求出函數的解析式.

設計意圖：本題難度不大，但是具有較強的數學抽象性，重在用好奇函數的性質求解函數的解析式.

變式1(改變條件)已知函數f(x)是定義在R上的偶函數，當x≥0時，f(x)=x(1+x).畫出函數f(x)的圖象，并求出函數的解析式.

變式2(改變條件和結論)已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f(x)=x(x-1)，求出函數的解析式.

設計意圖：變式1和變式2都是為了強化利用奇偶性求解分段函數解析式的基本方法.

設計意圖：在發展學生的逆向思維的過程中引導學生判斷函數奇偶性的另一種直觀有效的方法就是圖象法，根據圖象的對稱性判斷函數奇偶性.

到這里，可以適當發展學生的合作探究能力，引導學生進行變式創作，并將變式結果及變式的目的和全班同學進行交流和展示，充分發揮學生的積極性和主動性，培養學生的創新意識和創造能力.如下的變式5和變式6就是學生自己設計的變式題目.

變式5(改變表現形式)已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，當x≤0時，f(x)=x(1+x).畫出函數f(x)的圖象，并求出函數的解析式.

變式6(改變表現形式)已知函數f(x)是定義在R上的偶函數，當x≤0時，f(x)=x(1+x).畫出函數f(x)的圖象，并求出函數的解析式.

變式7(拓展)已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f(x)=x(x-1)，若f(x)-a=0只有一個根，求a的取值范圍.

設計意圖：函數與方程的轉化是數學的重要思想之一，有了函數解析式就可以作出函數簡圖，有了簡圖就可以觀察直線與函數的交點問題，這其實也就是函數與方程的并存關系.

變式8(拓展)已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f(x)=x(x-1)，若xf(x)-ax=0有且只有一個根，求a的取值范圍.

變式9(拓展)已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f(x)=x(x-1)，若xf(x)-ax=0有兩個實數根，求a的取值范圍.

變式10(拓展)已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f(x)=x(x-1)，若xf(x)-ax2=0有兩個實數根，求a的取值范圍.

設計意圖：受變式6和變式7的啟發，可以對函數適當加深難度，將數學問題的本質進一步呈現出來，充分詮釋變化中不變的元素.

設計意圖：會求分段函數的函數值是數學學習的重要一環，具體自變量對應的函數值學生很容易求出，但是對于含參數自變量的函數值的求法，老師有必要引導學生做一個探究，這里往往涉及分類討論的數學思想和恒成立問題的基本處理策略.