剖析三角知識中的學(xué)習(xí)誤區(qū)

王素京

三角函數(shù)、三角變換和解三角形，注重?cái)?shù)學(xué)知識間的交叉、滲透，解法靈活多變，突出對思維的靈活性和嚴(yán)密性的考查，解題時稍有不慎，便會出現(xiàn)增解、漏解，甚至錯解的情況。本文歸納剖析常見的典型易錯題，并對思維誤區(qū)進(jìn)行警示，防止類似錯誤再次發(fā)生。

誤區(qū)1——圖像變換或求解析式時忽略整體變量

例1 （2018屆遼寧大連期末）已知函數(shù)f（x）=2sin（2x+2），現(xiàn)將y=f（x）的圖像向左平移一個單位，再將所得圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的?倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖像，則g（x）在[，]上的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[-1，2]

B.[o，1]

C.[0，2]

D.[-1，0]

錯解：B或C或D。

剖析：整體變量下進(jìn)行圖像變換時求錯y=g（x），利用正弦的有界性求值域時忽略角的范圍。通過變換，

。故選A。

警示：三角函數(shù)的平移、伸縮變換及有界性求值域，凸顯整體變量觀念的具體應(yīng)用，特別注意，平移的量為

誤區(qū)2——忽視三角形中最大角或最小角的范圍

例2 在不等邊△ABC中，a為最大邊，如果a2

錯解：因?yàn)?/p>

又因?yàn)锳為△ABC的內(nèi)角，所以0

剖析：已知條件弱用，題設(shè)中a為最大邊，而錯解中只把a(bǔ)看作是三角形中的普通一條邊，造成解題錯誤。由上面的解法，可得A<又因?yàn)閍為最大邊，所以A>因此得A的取值范圍是

警示：在三角形中，利用反證法可得其最大角范圍為（，），最小角范圍為（0，）。

誤區(qū)3——三角形中忽視“大邊對大角、大角對大邊”的制約

例3 （2018屆河北張家口期末）已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為A，B，C，若b=1，c=√3，且

錯解：

△ABC為等腰三角形，可得a=1。綜上可得a=1或a=2。

警示：在△ABC中，抓住a>b→A>B=→sinA>sinB的理解和應(yīng)用，可以幫助我們縮小角的范圍，正確地進(jìn)行取舍。

誤區(qū)4——△ABC中忽略A+B+C=π的隱含條件

例4 在△ABC中，已知sinA=5，cosB=，求cosC的值。

錯解：

剖析：錯解中忽視了“A+B+C=π”這一隱含條件。在△ABC中，因?yàn)?/p>

警示：對于三角形中求角的問題，應(yīng)把握其隱含條件（如內(nèi)角和，大邊對大角等）和函數(shù)值對角的限制，盡量縮小角的范圍（越小越好），只有這樣才可以避免多解和漏解。

誤區(qū)5——忽視題設(shè)條件對角的制約關(guān)系

例5 在△ABC中，3sinA+4cosB=6，3cosA+4sinB=1，則∠C的大小為（）。

A.

B.

C.

D.

錯解：

剖析：

警示：三角形中的題設(shè)條件中常常隱含角與角之間的制約關(guān)系，這就需要我們充分挖掘和應(yīng)用，如本題條件cosA<1/3。比較隱蔽，不易發(fā)現(xiàn)，忽略后常常會有多解。