立體幾何中的易錯題歸類剖析

趙向前

一、求幾何體的外接球時，易忽視球的幾何性質

考點指南：球的問題是平面圖形圓的立體化、空間化問題，圓的考點在高中側重解析幾何問題的考查，即與圓的方程有關的問題，高中圓的幾何特性（幾何圖形的外接圓）主要體現在空間幾何體的外接球的知識方面，即求解與幾何體的外接球有關的問題時，需要把立體球轉化為平面圓進行分析，考查層次屬于有難度的問題。

例1 一個幾何體的三視圖如圖1所示，求該幾何體外接球的表面正視圖側視圖積。（單位：cm）

解題分析：根據題意知該幾何體是一個圓錐，俯視圖其軸截面是邊長為2cm的正三角形，則幾何體及其外接球的直觀圖如圖2所示。由題可知軸截面△PAB為正三角形，球心O為正三角形的重心，根據三角形重心的知識，則

考查意圖：本題主要考查同學們的空間想象能力、空間問題平面化能力及計算能力。雖然本題是求解外接球的表面積，但是在求解球的半徑時，需要逐步進行，故對運算邏輯也是有考查的。

復習建議：由于高考是選拔性考試，考題定位“源于課本，考查分析問題與求解問題的能力”，學習中，應立足教材，對教材中的核心題型，比如求三棱錐的外接球，只有做好歸納總結，步驟細化，有了基本方法的掌握，才能在解決柱體、錐體的問題中做到熟練掌握與應用。

變式練習1：如圖3，在P四棱錐P-ABCD中，面PAB⊥面ABCD，OPAB是等邊三角形，四邊形ABCD為矩形，邊長AB=2，AD=4，求四棱錐P-ABCD的外接球的體積。

解題分析：如圖4，構造四棱錐P-ABCD的外接球O，因為△PAB為正三角形，正△PAB的外接圓為O2，根據三角形重心的知識，則PO2：O2E=2：1。

二、判斷線面關系時，易忽視幾何載體或空間幾何常識的應用

考點指南：有關線面關系的問題，屬于考題中的小題部分，出題靈活，考查點線面的空間位置關系，在分析過程中，需要借助不同的幾何體或線面關系去呈現，考生在做題時，由于線面垂直、平行及判定性質（八大定理）同時出現，易脫離幾何載體或忽略幾何常識。在簡易邏輯問題上，條件的考查對考生來說比較抽象，特別是p是q的什么條件，或p的什么條件是q等知識的考查，屬于基礎題型中易于出錯的部分。

例2 設m，n是平面a內的兩條不同直線，l，s是平面β內兩條相交直線，則a⊥β的一個充分不必要條件是（）。

A.l⊥m，l⊥n

B.m⊥l，m⊥s

C.m⊥l，n⊥s

D.m//n，llm

解題分析：本題給出空間中兩線兩面，從線面關系去證明面面垂直，需要考慮證明面面垂直的基本方法，就是線面垂直的判定定理或直二面角知識。如圖5中，anβ斜交，知A，D選項錯誤，直線l⊥a。圖6中，anβ斜交，m⊥l，n⊥s，知C選項錯誤。B選項是線面垂直的判定定理，故B選項正確。

考查意圖：簡易邏輯中的條件結合空間點線面知識，屬于基礎問題的綜合，體現知識的交叉情況，立足空間幾何直觀和幾何載體，注重對考生基礎能力、基本方法應用能力的考查。

復習建議：在基礎問題方面，緊扣數學核心知識及考點，準確掌握概念，平時注重常規問題的分析，簡單不出錯，拿準分才是考生應該鍛煉的。

變式練習2：已知不同的直線l，m，n，平面anβ，γ，則下列關于線面關系的說法中正確的是（）。

A.l⊥m，m⊥」n，則l⊥n

B.m⊥ann⊥_an則m//n

C.x//l，β//l，則a//p

D.a⊥β，β⊥γ，則a⊥γ

解題分析：A選項中的直線l與直線之間還存在平行、相交、異面的情況;B選項正確，直線重合的情況，在本題不會出現，考生不用糾結;選項C、D中的兩個平面可能存在平行、垂直、相交的情況。

三、證明平行問題時，易忽視經典平行證明方法的應用

考點指南：線面的平行問題，是高考立體幾何問題中的核心證明問題，與線面垂直處于同樣重要的地位。在人教A版《數學必修2》中，關于線面平行有兩個判定定理與兩個性質定理。雖然可以用向量證明平行與垂直問題，但高考中的立體幾何解答題，其第一問一般考查平行與垂直，主要用定理去證明，應用時，結合具體問題，平行因素體現在比例或中點問題上。方法一，構造面面平行;方法二，通過中位線、比例、平行四邊形證明線線平行。

例3 如圖7，P是平行四邊形ABCD平面外一點，M，N分別是PA，BD上的點，且。求證：MN//平面PDC。

解題分析：由題知，該圖形可看作四棱錐P-ABCD，

如圖8，在AD上取一點Q，滿足，即Q是AD的三等分點，連接MQ，NQ。在△ADP和△DAB中，MQ//PD，NQ//AB。

在平行四邊形ABCD中，AB//CD，所以NQ//CD。

又MQ∩NQ=Q，CD∩PD=D，所以面MNQ//面PCD。

又MNC面MNQ，所以MN//面PCD。

考查意圖：本題通過比例給出條件去求證平行，對比中點問題，考生易構造中位線在面內尋找線線平行，但通過構造面面平行，用面面平行的判定定理是比較好的方法。本題考查考生對平行問題的常見證明方法的理解與應用情況。

復習建議：立體幾何是高考的必考點，在解答題型中證明問題與求解問題屬于中等難度題型，對比圓錐曲線與函數問題，考生易得分，復習時要熟練掌握基本定理，解題時步驟要寫詳細，保證得分點突出。注意經典題型與構造問題，做好積累歸納。

變式練習3：如圖9，在四棱錐P-ABCD中，AB=BC=1/2AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中點。證明：直線CE//面PAB。

解題分析：如圖10，在四棱錐P-ABCD中，取AD的中點F，連接EF，CF，AB=BC=1