數列易錯題分析

劉玉

易錯點1：求通項公式時，弄錯首項致錯例1設數列{an}的前n項和為Sn，a1=1，3an+1=Sn（n∈N*），求數列{an}的通項公式。

錯解：由3an+1=Sn，可得3an=Sn-1（n≥2），兩式相減可得

所以數列{an}是以1為首項，4/3為公比的等比數列，所以an=。

正解：由上述分析可得，又，所以數列{an}從第二項起是以4/3為公比的等比數列，即首項為，所以當n≥2時，an=。

分析：本題易忽視首項與所有項的整體關系，事實，上，數列{an}從第二項起，以后各項組成等比數列，而{an}不是等比數列，因此等比數列的首項不是an。

易錯點2：忽略數列與函數的區別致錯

例2設函數f（x）=，若數列{an}滿足an=f（n）（n∈N*），且{an}是遞增數列，則實數a的取值范圍是（）。

A.

B.

C.

D.

錯解：因為{an}是遞增數列，所以

解得a∈

正解：因為{an}是遞增數列，所以

解得2

分析：實際上，數列可以看成是特殊的函數，它的定義域是自然數集，圖像是一系列孤立的點，所以該題不能直接按照函數的方法處理。

易錯點3：忽略等比數列中的隱含條件致錯

例3 已知數列{an}滿足a1=1，an+1=2an+λ（λ為常數），試探究{an+λ}是不是等比數列，并求an。

錯解：因

正解：

例4 已知等差數列{an}中，a1=2，a1，a2，a3+2成等比數列，則等差數列{an}的前10項和等于____。

錯解：設數列{an}的公差為d，由a1，a2，a3+2成等比數列，可得

正解：當d=-2時，a2=0，a1，a2，a3+2不能構成等比數列，故

分析：兩題的易錯點相同，同學們易忽略等比數列中的隱含條件“各項均不為0”，做題時要注意檢驗。

例5 已知數列{an}滿足an=0，an+1=npn+an，求數列{an}的通項公式。

錯解：

正解：

分析：本題p=0時，{an}是各項均為0的常數列，而p≠0時，在利用錯位相減乘公比時，公比不能為1，因此要討論p=0，p=1，p≠0且p≠1三種情況。

易錯點4：忽略數列的定義域是正整數集致錯

例6 已知各項都為正數的等比數列{an}滿足a7=a6+2a5，若存在兩項am，an，使得，則的最小值為（）。

A.

B.

C.

D.

錯解：依題意可得a5q2=a5q+2a5，所以q2-q-2=0，所以q=2。

正解：上式當且僅當

分析：數列的定義域是正整數集，不能取分數，在利用基本不等式時要注意檢驗等號成立的條件是否滿足。