十年磨一劍

高子林

2007年與2017年，筆者以同一內(nèi)容先后參加教學(xué)比武，都獲得了一等獎(jiǎng)。不同的是，2007年以“集合”為題，2017年以“重疊”為眼。在教學(xué)改革風(fēng)起潮涌的十年間，這兩節(jié)課的設(shè)計(jì)分別反映了怎樣的教學(xué)理念？有哪些變遷？筆者做了一番比較。

一、2007年，認(rèn)知沖突中“了解集合知識(shí)”

（一）教學(xué)實(shí)錄（部分）

師：（呈現(xiàn)材料）已知“班干部有9人，小組長(zhǎng)有8人”，右邊的小男孩卻說(shuō)“總?cè)藬?shù)沒(méi)有17人”，難道求班干部和小組長(zhǎng)的總?cè)藬?shù)不是“9加8”嗎？

生：因?yàn)橛行┤耸侵貜?fù)的，一個(gè)人做了兩項(xiàng)工作，所以“9加8”是不對(duì)的。

師：“因?yàn)橛行┤艘粋€(gè)人做了兩項(xiàng)工作，所以總?cè)藬?shù)不能簡(jiǎn)單地相加”。你們同意這種觀點(diǎn)嗎？再想一想，同桌議一議。

生：最前面的3個(gè)人，他們既是班干部又是小組長(zhǎng)。因此，總?cè)藬?shù)應(yīng)該比17人少3人。

生：17人減去重復(fù)的3人，正好是我們班班干部和小組長(zhǎng)的總數(shù)。

師：減3的道理是什么呢？

生：班干部里有這3個(gè)人，小組長(zhǎng)里也有這3個(gè)人，“9加8”就多算了一個(gè)3。17人減去3人，正好把多算的去掉了。

師：大家說(shuō)得很有道理。如果我用兩個(gè)圈分別表示班干部和小組長(zhǎng)的人員情況，怎樣才能清楚地表示出“3人既是班干部又是小組長(zhǎng)”？

生：把重復(fù)的人連起來(lái)。（略）

生：把重復(fù)的人圈起來(lái)。（略）

生：（手勢(shì)略）把兩個(gè)圈重疊起來(lái)。

師：哪里重疊起來(lái)？

生：“既是班干部又是小組長(zhǎng)”的那部分重疊起來(lái)。

（課件展示兩集相交的過(guò)程，如上圖右邊）

師：哪部分表示班干部？哪部分表示小組長(zhǎng)？哪部分表示既是班干部又是小組長(zhǎng)？哪部分只表示班干部？哪部分只表示小組長(zhǎng)？（生答略）

師：像這樣的圖，在數(shù)學(xué)中，我們把它叫作“集合圖”。（板書(shū)：集合）

師：如圖，已知班干部有9人，小組長(zhǎng)有8人，既是班干部又是小組長(zhǎng)的有3人，請(qǐng)你寫(xiě)出表示總?cè)藬?shù)的算式。

生：9+8-3=14。

生：6+5+3=14。

……

（二）解碼教學(xué)理念

1.以“了解集合知識(shí)”為教學(xué)目標(biāo)

2007年上“集合問(wèn)題”一課時(shí)，實(shí)驗(yàn)版課程標(biāo)準(zhǔn)指導(dǎo)下的小學(xué)數(shù)學(xué)教材已使用3年，雖然有用“初步體會(huì)集合思想，解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題”改進(jìn)教學(xué)的聲音，但實(shí)踐中大多還是借鑒初中和奧數(shù)對(duì)“集合”知識(shí)的定位，仍然以“了解集合知識(shí)”為主要教學(xué)目標(biāo)。

2.利用“認(rèn)知沖突”發(fā)現(xiàn)“集合”的表征形式

筆者跟這個(gè)時(shí)期的大多數(shù)教師一樣，忽視學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、思想方法，教學(xué)設(shè)計(jì)以“教知識(shí)”為主。教學(xué)中通過(guò)呈現(xiàn)“班干部”和“小組長(zhǎng)”的名單，設(shè)計(jì)了一個(gè)“班干部人數(shù)+小組長(zhǎng)人數(shù)≠總?cè)藬?shù)”的知識(shí)沖突，使學(xué)生聚焦“有些人既是班干部又是小組長(zhǎng)”這一“重疊現(xiàn)象”，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生“創(chuàng)造集合的形和式”。當(dāng)時(shí)認(rèn)為給“集合”套上一個(gè)背景故事就是在“解決問(wèn)題”，就是在“發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)思想”，實(shí)際上僅是用“圈”和“式”表征“重疊現(xiàn)象”而已。

二、2017年，解決問(wèn)題中“體悟重疊思想”

（一）教學(xué)實(shí)錄（部分）

師：（呈現(xiàn)材料）學(xué)校舉行達(dá)標(biāo)運(yùn)動(dòng)會(huì)，高老師派了5名同學(xué)參加跳繩比賽，6名同學(xué)參加跳遠(yuǎn)比賽，一共派了幾人參加比賽？

生：5+6=11（人）。

師：（指下圖）你說(shuō)的是這個(gè)意思嗎？

生：也有可能不需要11人……

師：“可能不需要11人”是什么意思？難道少派幾人也能達(dá)到“5人參加跳繩比賽，6人參加跳遠(yuǎn)比賽”的效果？請(qǐng)像上圖那樣用畫(huà)圈和算式來(lái)表達(dá)你們的想法。

（四人小組合作研究，并在紙上記錄）

組1：有5人既參加跳繩比賽又參加跳遠(yuǎn)比賽，還有1人只參加跳遠(yuǎn)比賽，只需要派6人（如圖1）。

組2：我們也是6人，但是畫(huà)得不一樣（如圖2）。

師：還有派6人，但圖畫(huà)得不一樣的小組嗎？

（另兩個(gè)小組出示作品，如圖3、圖4）

師：這些圖都表示出了什么特點(diǎn)？

生：有5人既參加跳繩比賽又參加跳遠(yuǎn)比賽。

師：你們最喜歡哪個(gè)方案？（生答略）

師：（呈現(xiàn)圖5）哪部分表示參加跳繩比賽的人？哪部分表示參加跳遠(yuǎn)比賽的人？哪部分表示既參加跳繩比賽又參加跳遠(yuǎn)比賽的人？5加6的結(jié)果為什么還要減去5？

（生答略）

師：還有其他方案嗎？

生：1人既參加跳繩又參加跳遠(yuǎn)，總共派10人（如圖6）。

師：算式怎么寫(xiě)？

生：5+6-1=10（人）。

師：還有其他想法嗎？

（生出示如下作品，如圖7、圖8、圖9）

師：像以上這些問(wèn)題，稱為“重疊問(wèn)題”。重疊問(wèn)題有什么特點(diǎn)？怎么解決？

生：有一部分人既做這件事又做那件事。

生：總數(shù)里要去掉“重復(fù)”的部分。

……

（二）解碼教學(xué)理念

1.以“體悟重疊思想”為教學(xué)目標(biāo)

2017年上的“重疊問(wèn)題”一課，是在2011年版課標(biāo)指導(dǎo)下，體現(xiàn)了“人本主義”和“建構(gòu)主義”，“了解集合知識(shí)”的教學(xué)目標(biāo)已經(jīng)退居后臺(tái)，“通過(guò)解決問(wèn)題體悟重疊思想”的教學(xué)目標(biāo)進(jìn)入了教師的視野和實(shí)踐。

2.經(jīng)歷“解決問(wèn)題”感受“集合”思想方法

跟十年前一樣，這個(gè)時(shí)期的教學(xué)方案仍然有一個(gè)背景故事，但已經(jīng)跟之前有了質(zhì)的變化。如果說(shuō)十年前的背景就是“交集現(xiàn)象”生活素材，那么十年后的背景真正是一個(gè)“解決問(wèn)題”的開(kāi)放場(chǎng)景：要派5名同學(xué)參加跳繩比賽，6名同學(xué)參加跳遠(yuǎn)比賽，一共要派幾人參加比賽？這里既有如圖10的已有集合經(jīng)驗(yàn)的表達(dá)，又有如圖11的未有經(jīng)驗(yàn)的集合知識(shí)的呈現(xiàn)。

本課中，背景故事本身是一個(gè)需要解決的問(wèn)題，既有“起點(diǎn)”（加法模型）又有“終點(diǎn)”（重疊問(wèn)題），很有開(kāi)放性和成長(zhǎng)性。在這里，“集合思想”既是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的對(duì)象，又是解決問(wèn)題的方法，形象地講，就是用“舊拐杖”做“新拐杖”，用“新拐杖”走“新路程”，實(shí)現(xiàn)從“A+B”到“A+B-C”的升華。

三、教學(xué)理念升華的意義和價(jià)值

2007年，教師把“集合”當(dāng)成一種“新生事物”，以引導(dǎo)學(xué)生獲取知識(shí)為主要目標(biāo)。事實(shí)上，學(xué)生從入學(xué)開(kāi)始就跟“集合”打上了交道，“加法就是求兩個(gè)交集為空集的集合的并集的基數(shù)”。2017年這一課，學(xué)生通過(guò)某種途徑“開(kāi)放”了學(xué)習(xí)內(nèi)容，“提升”了已有思想。從“集合問(wèn)題”到“重疊問(wèn)題”的演變，其意義和價(jià)值在于以下三個(gè)方面。

一、知識(shí)更具結(jié)構(gòu)性

在“派人”這個(gè)真實(shí)情境下，學(xué)生既能展現(xiàn)原有“加法模型”，又能發(fā)現(xiàn)“重疊現(xiàn)象”，體現(xiàn)了集合思想的本質(zhì)。由于新知識(shí)生長(zhǎng)于舊知識(shí)，新思想升華于原思想，學(xué)習(xí)不是簡(jiǎn)單的順應(yīng)，而是結(jié)構(gòu)性的“同化”，是在“搭積木”，便于記憶與遷移。

二、思想更具指導(dǎo)性

在解決問(wèn)題的真實(shí)情境中，學(xué)生有意愿、有空間突破“A+B”加法模型的局限，去構(gòu)造一個(gè)“A+B-C”的重疊模型。“重疊問(wèn)題”的思想，有效地拓寬了“求總數(shù)”的問(wèn)題解決策略，讓“A+B-C”這種重疊模型向下融合“A+B”加法模型，從而更具有解決問(wèn)題的指導(dǎo)性。

三、學(xué)習(xí)更具挑戰(zhàn)性

雖然2007年課的學(xué)習(xí)活動(dòng)中，學(xué)生也有認(rèn)知沖突，也有模型的建構(gòu)過(guò)程，但完全沒(méi)有2017年這一課學(xué)生在學(xué)習(xí)中的那種“解決問(wèn)題”的沖動(dòng)。“基于問(wèn)題解決的重疊問(wèn)題”的挑戰(zhàn)性學(xué)習(xí)，是應(yīng)用認(rèn)知規(guī)律升華兒童認(rèn)知的有效方式。

十年變遷，表面上看，那一頭是知識(shí)為本，這一頭是思想為要，但深層次上，它反映了小學(xué)數(shù)學(xué)界對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)培養(yǎng)的孜孜追求，是小學(xué)數(shù)學(xué)課程不斷成熟的標(biāo)志之一。

（浙江省海寧市仰山小學(xué) ? 314408）