“ABBABB……”和“AABAAB……”的規律是一樣的嗎

章勤瓊

【摘 ? 要】“規律”一般是指事物之間的內在的本質聯系，是客觀存在的，不以人的意志為轉移。小學數學中的“找規律”并不是找“客觀規律”，而是要探索重復的模式。在教學中，可以有以下幾個方面的內容：首先是發現重復的模式，其次是表達重復的模式，之后還需要從經由抽象之后表達出的模式中找到現實的模型，最后還可以讓學生進行模式的創造，感受數學的秩序和美感。

【關鍵詞】找規律;模式;重復;周期

圖1選自一本數學繪本，是“找規律”的相關內容，圖中有幾種不同的物體，這些物體都有一定的規律，比如花是“ABBABB……”型規律，石頭是“AABAAB……”型規律，而下面左邊房子中的冰淇淋和中間的糖果是“ABAB……”型規律，右邊房子中則是“ABC”型規律。但有一個問題讓老師們感到疑惑，“圖中花和石頭的規律是一樣的嗎？”

有教師認為這里都是每三個一周期，每個周期中都有兩種元素，但元素的個數不一樣，所以規律不一樣。而且，其中元素的順序不一樣，也就是前面提到的“ABB”型和“AAB”型。也有老師認為兩者是一樣的規律，只不過是從哪個元素開始而已，如果把“ABB”型的周期多寫一寫，就是“ABBABBABBABB……”從第二個開始看，那么就是“BBABBABBA……”很顯然，這里的A和B只是用來區別元素不同，所以與“AAB”型是完全一樣的。而從哪一個元素看并不是規律的本質，所以，其實是一樣的。

那么，這兩種不同型的規律能不能看成一樣的？“找規律”的教育價值究竟是什么？我們應該對與此相關的數學概念進行一些梳理，進而可以對教學進行進一步的思考。

一、小學數學中研究的是“規律”還是“模式”？

“規律”并不只是一個數學詞匯，其一般的釋義為：“事物之間的內在的本質聯系。這種聯系不斷重復出現，在一定條件下經常起作用，并且決定著事物必然向著某種趨向發展。規律是客觀存在的，是不以人們的意志為轉移的，但人們能夠通過實踐認識它、利用它。也叫法則。”[1]從中可以看出，“本質”“客觀”“不以人們的意志為轉移”是“規律”的基本屬性。此外，“經常起作用”“決定著某種趨向發展”而且“通過實踐認識它、利用它”，應當是“規律”的重要特征。如果以這樣的標準來看圖1，不論是花、石頭，還是房間中的布置，都不能真正稱為“規律”，因為很顯然，這些擺法都有很強的隨意性，并不是“客觀”的，而且帶有很強的“人為性”的成分，絕非“不以人們的意志為轉移”。[2]那從另外一個角度來看，如果我們認為圖中的這些物體都已按照一定的“順序”擺放完畢，而且不再改變，這不就已轉化成“客觀事實”了嗎？從規律的基本屬性來看的確如此，但如果從規律的重要特征這一點來看，如果圖1中的這些真的成了客觀規律，這些“規律”是否有助于我們更有效地去從事實踐活動，并預測某種趨向發展呢？很顯然，并不具備這樣的價值和意義。[3]

正如張奠宙提到的，在小學數學“找規律”的情境中，像“后面一個應是什么”這樣的問題中的“應”字是不妥當的，這意味著找的規律只有一種，但事實上，我們還可以找到許多其他的規律，也完全可以說得通。“實際上，找規律問題是一個開放的問題。任何一個有限序列，都可以生成無限多種規律，認為只有一個規律，推斷出‘必須是什么和‘應該是什么，把開放題封閉成只有唯一答案的題目，在數學上是不對的。”[4]因此，小學數學教學中的“規律”并不是真正科學意義上的“規律”，而“找規律”的教育價值也不應該是給出一個統一的答案。

有研究者認為，與“規律”相比，“模式”1應該是一個更為合適的詞語。模式是指“某種事物的標準形式或使人可以照著做的標準樣式”[5]，與“規律”相比，同樣都是指一定的樣式，但并不是客觀的，因此也就有了更多的可能形式。那么，相比必須或者應該是什么，像“你覺得下面一個會是什么”這樣的問題可能更合適。當然，在用詞上是用“規律”或是“模式”并不重要。《義務教育數學課程標準（2011年版）》在第一學段和第二學段“數與代數”領域中都有“探索規律”這一內容，既然是“探索”，就說明這里的“規律”并不唯一，可以是體現某些特征的可能“模式”，而這些“模式”可以進行一定程度上的抽象。

因此，再回到文章開頭提到的那個問題，相比要回答“ABB”型和“AAB”型的規律是否一樣，學生能否從一個排列中找出“ABB”型和“AAB”型的模式更有價值。

二、小學數學中“找規律”的教育價值

一般來說，“找規律”的教學中都要強調“一組”“不斷”“重復”這幾個關鍵點，并要求在找規律時將其中重復的每一組圈出來，突出“循環單位”或“循環組”，并指出“要讓學生體會到這是規律的‘核心，是認識規律的根本”，而且在教學時要通過“把什么作為一組？”“一組中的第一個數（或圖形）是什么？”等問題反復讓學生進行體會，形成深刻印象，進而把握規律。[6]

然而，如果僅僅是要讓學生能找到某種類型的規律，或是能根據這些規律說出下一個元素是什么，是否需要在小學階段的數學課中專門開設這樣一節課？事實上，這樣的一種能力似乎可以看成是人的一種直覺甚至本能。美國西北大學的研究人員在最新的一項研究中發現，三四個月大的嬰兒就已經有看圖找規律的能力。[7]由于生活經驗的積累，一年級學生已經具備初步找簡單圖形和最簡單數字排列規律的能力。而在教學之前的調查也表明，絕大部分學生都能正確填出（按照一定規律排列的圖形）后面的圖形。[8]那么，對于一、二年級學生而言，“找規律”這一內容的教育價值是什么？一般而言，都認為至少需要達成以下兩點：首先，要讓學生認識到規律性重復出現的事物無處不在，這是一種模式;其次，只有把握了變化中的規律，才能用“有限的、看得見的”事物預測“無限的、看不見的”事物，即只有把握規律，才能更好地做預測、做判斷。[9]

除此之外，是否還有其他的內容呢？如圖2，北師大版教材二年級下冊中采用了以下處理方法，將主題由“找規律”變成了“‘重復的奧妙”，并將教學的重點由所謂的“尋找規律”轉移到了這樣兩個問題：（1）生活中有哪些重復出現的現象？ （2）我們又應如何去表達所說的重復現象？[10]我們可以看出，在第一個問題中，很明顯地將重心由尋找“客觀規律”轉移到了探索發現“重復模式”上，這種變化體現了“會用數學的眼光觀察世界”。在第二個問題中，對重復現象的表達即對模式的抽象與提煉，這里體現了“會用數學的語言表達世界”。

在筆者所聽的一節課上，在學生說出圖2的燈籠是按一大一小重復擺放，一共擺了四組之后，教師讓學生用自己喜歡的方式將燈籠表示出來，也就是教材中的“表示規律”，如何表達重復現象。由圖3的學生作品可以看到，至少出現了畫圖、文字、圖形、字母、數字這樣五種不同的表示方法。

在畫圖的表示方法中，學生嘗試先畫出了第一組中一大一小兩個燈籠，而在后面的三組中，以大圓和小圓分別代替大燈籠和小燈籠。說明學生理解了這是兩個一組重復出現，而且在后面的表示中進行了適當的抽象。文字、字母、數字，雖然表示的方法不同，但學生都能看出是兩個一組重復，而且在一組中都是一大一小這樣的順序。特別值得指出的是用圖形表示的這位學生，看起來似乎沒有表示出燈籠一大一小這個特征，但這種表示方法的抽象程度更高，更加體現出了“AB”型規律的本質。這里的大小燈籠只是作為重復的一組中不同元素的區別，大小并不是本質特征，因此用五角形和圓形進行表示，從本質上來看是完全一樣的。雖然教師在課堂上并沒有讓學生將重復的一組圈出來，但從所有的表示方法都可看出學生是可以識別出怎樣的一組是重復的。此外，還有一個值得注意的地方是，在字母和數字這兩種表示方法中，學生分別表示出了五組和六組的重復，而事實上，圖2中的燈籠只有四組的重復。學生能進行這樣的表示，說明在對規律的理解上，完全可以看出這樣的一組在后面是“不斷重復”出現的。

所以，從這個環節的教學中可以看出，學生對于“找規律”需要特別強調的“一組”“重復”“不斷”這樣的三個關鍵點是完全可以理解的，而且能以適當的抽象方式進行表達。在這節課上比較遺憾的一點是，教師沒有讓學生進一步討論，在圖形的表示方法中沒有體現出燈籠的大小這個特點，這樣的表達是否可以？而在用字母和數字表示的方法中并不是四組，這樣的表達是否可以？通過這樣的討論，可以讓學生更加深入地理解重復規律的本質。

在這之后的教學活動中，教師讓學生從圖2中找到一個自己喜歡的重復現象，并表示出來，再讓其他同學猜表示的可能是什么。如圖4（圖中的圈是教師在后面講解的時候加上的），上面采用了兩大兩小的表示方法，但學生都能理解這里只是表示在一組中區別元素的方法，表示前兩個和后兩個不一樣，并不一定真的要前面兩個大，后面兩個小。而在下面這個表示方法中，學生在圖中找到了多種不同的現象，如旗幟、氣球等。更為難得的是，有學生發現在花圃中，如果從第二欄花開始，雖然花的顏色不一樣，但都是兩欄花、一欄草，可以用這種方式表示。但如果從草開始，就是不一樣的表示方法。事實上，這也在一定程度上回答了文章開頭的問題，選擇了不同的起點，同時看到了“AAB”型和“ABB”型這兩種規律，這比直接判斷兩種規律是否一樣要有價值得多。

三、兩點教學建議

第一，將教學重心從尋找既定的“客觀規律”轉移到探索可能的“重復模式”。小學數學中的“找規律”找的并不是“不以人們意志轉移的客觀存在的規律”。事實上，尋找客觀存在的規律也不是“找規律”這一內容的教學目標所在。既然目標不能指向唯一形式的客觀規律的尋找，那么在教學中就要讓學生認識到需要去探索重復模式，而這種重復模式只是可能的形式，并不唯一，可以有不同的形式，從不同的角度看到不同的模式是數學抽象和數學化的重要內容。

第二，在教學中可以有以下幾個重點內容：首先是發現重復的模式;其次是表達重復的模式;之后還需要從經由抽象之后表達出的模式中找到現實的模型。當然，在教學中還可以讓學生進行模式的創造，感受有秩序的重復現象帶來的數學美感。從創造這個角度來講，創造“模式”也比創造“規律”更加合適。因為談到規律，更有客觀的意思，是不以人的意志為轉移的，我們能做的只有發現并運用到實踐中，而模式是指符合一定特征的樣式，可以根據自己的需求和喜好進行適當的創造。

參考文獻：

[1] [5] 中國社會科學院語言研究所詞典編輯室. 現代漢語詞典（第5版）[M].北京：商務印書館，2005：514;961.

[2] [3] [4] [10] 鄭毓信. 數學教育中的“找規律”風應當降溫 [J]. 小學教學（數學版），2014（10）：7 – 9.

[6] 人民教育出版社課程教材研究所小學數學課程研究開發中心. 義務教育教科書教師教學用書：數學（一年級下冊）[M]. 北京： 人民教育出版社，2012： 179.

[7] 編輯部. 三個月大嬰兒已會看圖找規律[J]. 科學大觀園，2018，38（6）：7.

[8] 張宏偉. 一年級《找規律》的教學調研、分析與設計[J]. 小學教學設計：數學，2012（7）：4-6.

[9] 劉加霞. 小學數學中“找規律”的教育價值及有效落實的路徑分析[J]. 小學教學（數學版），2018（10）：16-18.

（溫州大學 ? 325035）