邏輯——彰顯數學思維的本源

胡燕峰

數學是科學的基礎，是邏輯的延伸。隨著時間的推移，19世紀中期以來，邏輯更是高頻地出現在數學和計算機科學的研究序列中。現在的人們在日常辯論中，也會自覺或不自覺地用到邏輯，邏輯已經著筆揮就了數學思維的底色。從本源上看，數學就是一些符合邏輯原則的體系，就是做一系列假定，然后用邏輯工具推導出一系列結論的理論體系。《教學月刊·小學版（數學）》2019年第3期中的諸多文章體現了數學的邏輯味，從數學思維的底層推進，著力于分析數學思維在邏輯層面上的存在和理念更新，彰顯了數學思維的本源。

一、突破形式邏輯，彰顯“思辨的奇妙”

邏輯是一門講述思維形式的學問，在知識爆炸的時代，頭腦風暴愈演愈烈，想要更好地生存，不僅需要勤奮，還必須擁有智點，甚至還要打破常規。隨著人才競爭的日趨激烈和高智能化，越來越多的人認識到僅擁有知識是遠遠不夠的。因為知識本身并不能告訴我們遇到問題該如何解決，如何創新，這一切還是要依靠人類的智慧。那些在社會上有所成就的人無一不具有卓越的思維能力，尤其是在邏輯拓展上往往超出常人。

郜舒竹教授的開篇一文《數學中的“異想天開”》指出，“異想”指的是求異的思維方式，與求同的思維方式相對，它符合基于辯證邏輯的辯證思維規律，是數學學習過程中學生應當不斷經歷和培養的內容，應當成為數學教學的目標之一。

郜教授還列舉了數學發展歷史中存在運用異想發現問題、解決問題的案例。比如帕斯卡與費爾瑪對賭注分配問題的研究，《孫子算經》和《算法統宗》中對雞兔同籠問題的研究，尤其是對“倍頭法”“半足術”的剖析格外精彩！郜教授指出，半足術和倍頭法都違背了通常形式邏輯的思維規律，具有與眾不同、不同尋常的異想特征。這樣的異想不能被認為是錯誤的思維，而應當看作是對通常邏輯思維的拓展與提升，是我國歷史文化中人們智慧的體現，這也恰恰說明基于形式邏輯的思維方式是有局限性的。

突破形式邏輯的局限是對通常的邏輯思維的拓展與提升，因此教師的教學需要遵循辯證邏輯為基礎的辯證思維，以辯證唯物主義普遍聯系和運動變化的觀念為基礎遵循對立統一的思維規律。但是，任何事物的存在，一定伴隨著對立一方的存在，同樣對立的雙方相互排斥，同時也互為條件、互為因果。對立的雙方在一定條件下可以相互轉化。所以在教學過程中，特別是在思維解釋過程中，應該注意到“是”與“非”并非處于截然分離的狀態，完全可以允許學生在邏輯中設立中間地帶或過渡區，即思維對象可能同真、共存和相互轉化。

例如，按照形式邏輯的思維方式，就會在思維中產生“平角不是角”的意識。而用辯證思維的眼光看，直觀上的“非角”可以與思維中的“是角”并存，用運動與變化的眼光把直線看作是小于180度的角與大于180度的角相互轉化需要經過的一個瞬間，這樣就實現了“非角”與“是角”的相容和統一。超越邏輯的無矛盾律以多視角的辯證思維虛擬出未發生事件的各種可能性，用運動與變化的眼光看待事物，這樣的思維符合辯證唯物主義。所以我們應該倡導“變教為學”，將課堂還給學生，提供學生思維活動的游樂場，讓學生玩轉數學思維，在邏輯場里不受約束地探究無限可能。

二、重構學科邏輯，彰顯“結構的魅力”

本期話題“如何進行單元整體設計”推出了6篇文章，是由浙江省小學數學特級教師（正高級）邵漢民領銜的團隊傾心呈現——單元整組教學交流“三位數乘兩位數”。團隊對此進行了長期的研究，并積累了豐碩的成果。

導讀由邵漢民和趙麗麗兩位老師雙向展開，層層推進，精彩紛呈。首先趙麗麗老師從《整體理念觀照下的“三位數乘兩位數”單元復習教學實踐》一文談起，分享了一線教學最新的教學感悟：1.要從計算方法上進行整體回顧，也要從數量關系上進行抽象概括;2.可以結合計算總結積的變化規律;3.可以結合學習內容進行函數思想的滲透。趙老師認為要將積的變化規律與函數思想滲透于兩個板塊之中。一是“三位數乘兩位數”筆算模型的構建與練習;二是數量關系整體回顧、拓展與應用。一線教師可以根據案例做進一步的教學實踐，相信會有諸多收獲。

邵漢民老師的話題中呈現的關鍵詞是“認知規律”和“學科邏輯”，這兩個基點抓住了單元整組教學的核心要素。我們知道，小學數學教材是由一個個相對獨立的單元構成的，同一單元中的新知又是按照一定的邏輯順序編寫的。因此教學拓展可以從單元整體設計的角度來審視單元內的課時教學內容，并通過適當的調整與重組來更好地構建起基于學生認識規律與數學學科邏輯的單元教學體系，從而促進學生學和教師教效率的提升。經過邵老師的梳理，“三位數乘兩位數”教材的結構清晰呈現，在此基礎上，團隊又基于學生的認知特點重新架構新的教學思路。邵老師的解讀讓我們感受到數學獨特的理性美、結構美，彰顯了數學學科邏輯在結構優化中起到的重要作用。推薦大家慢慢研讀，并做一線教學嘗試。

三、基于實證邏輯，彰顯“數據的精準”

邏輯實證主義認為，宇宙的一切都可歸因于邏輯，邏輯是一切的本源，從經驗走向實證是當前教學研究的必然趨勢。

葛素兒老師帶來的是《基于數據實證的小學數學教學精準化實施》，交流中，葛老師提出自己鮮明的觀點;精準的數據可以幫助教師找準核心問題，進行精準教學。葛老師以“倍的認識”教學為例，提出兩個基于實證的教學策略：1.從“知識層層分解，構建精準目標樹”;2.從“學習層層深入，教學精準設計”。這為一線教師在教學研究時，從數據化走向大數據化提供了方向。

文章解讀中關于“目標樹”的分析格外精彩：目標設計是教學設計的主要環節，真實全面的數據分析可以讓教師精確把握教學目標，其中最有價值的數據來源于學情實證和教材實證，分別回答“教什么”和“學生在哪里”這兩個問題。通過邏輯分析，我們找到了基于數據實證本源，即“學情”和“教材”，它指向的是我們教學的本質，即回答了“教什么”和“學生在哪里”。

顯然，這樣的思考含金量很高，指向的是邏輯在哲學方向的思考。我們知道雖然邏輯形式和規律有限，不可能適用于無限的思維實踐，但在對它們的反復使用中，卻能夠加強人們對邏輯思維一般原理的理解和領悟，從而具備更明確、更周密、更有序的高層次思維。在實證研究的道路上，需要邏輯的支撐，雖然現代邏輯已逐漸滲透數學領域，但對于距離時代召喚的一般思維邏輯還有一段差距，我們都需要努力！

四、厘清數理邏輯，彰顯“推敲的錨點”

本期導讀活動特邀了“數說九章”欄目的章勤瓊博士在線交流，雖然章博士沒有做PPT，但是他的語言表達邏輯清晰，層層遞進，絲絲入扣，讓我們聽得特別清楚明白，深深地感受到數學表達的理性美。

“28÷12=280÷120嗎”這個話題源于網絡上的一次討論。主要有三個觀點：1.認為此題應該是相等的，因為“被除數和除數同時乘或者除以一個數，商是不變的”;2.“雖然商不變，但是余數會變化。這道題應該是小于，原因是如果把兩邊的式子計算出來，商相同，但余數并不相等。因為28÷12=2……4，而280÷120=2……40，商 2 和2 是一樣的，而余數40比4要大，所以280÷120更大一些”。理由是“商相同時應該比余數”。3. 有人對這個題目本身提出了疑問，“這道題目是要比較余數的大小還是比較結果的大小？如果是比較余數的大小，應該是小于，如果是比較結果的大小，應該是等于”。章博士通過兩個維度進行了深入解讀：1.“除法”與“有余數除法”的關系;2.商的變化規律。章博士還提出了相應的教學建議：“在學生初次接觸余數時，應強調余數與除數的相應關系;在運算教學中，應重視對等式性質與運算法則的理解。”

“商的變化規律的理解與掌握是運算法則的一部分”這從數理的角度厘清了“28÷12=280÷120”的教學價值取向。邏輯的魅力在章博士的文章和交流中呈現得無比絢麗多彩，這也提醒我們一線的教師，在分析解決一些有爭議的數學問題時，不妨從數理邏輯的角度多思考一些，這樣就會抓住問題的核心及教學的價值取向，或許收獲會異常精彩！

如果把思維看成一個圓形，那么邏輯就是一個方塊。邏輯與思維的關系就像在方塊中取圓形，永遠無法占據整個方塊。邏輯中的思維也是如此，永遠窮盡一般思維的方塊，因此它可以完美地彰顯思維的本源。方圓之間，如何發揮邏輯在數學思維中的巨大作用？我們任重而道遠！

（浙江省桐鄉市教師進修學校 ? 314500）