應用歸納法確定“三位數乘兩位數”的最大值

鐘家衛 朱挺紅

人教版教材四年級上冊第50頁第12題是一道思考題：“用0，2，3，4，5組成三位數乘兩位數的乘法算式，你能寫出幾個？你能寫出乘積最大的算式嗎？”解決這一問題有怎樣的思路？又會有什么規律呢？利用怎樣的策略讓學生自主發現這一個規律呢？更進一步，在5個數字中出現相同的數字時，發現的規律是否同樣適用呢？帶著這些問題，筆者進行了教學實踐研究。

一、嘗試猜想，提出假設

教材第12題中5個數字里面出現了0，填在數的末尾在豎式計算時可以簡便計算，這會影響規律的發現。同時，題目沒有說明是否可以重復用某一個數字，容易產生歧義。因此，我們把題目改為：用1，2，3，5，6組成三位數和兩位數的乘法算式，每個數字用且只用一次。這樣的乘法算式可以寫出許多個，猜一猜，乘積最大的算式可以是怎樣的？

（一）直覺猜想，比較歸類

提出問題后，學生會依據原有經驗做出猜想。把大的數字填到最高位是學生應有的想法。由于初次嘗試，會有不同的答案。如：（1）653×21，（2）631×52，（3）532×61，（4）521×63。教師板書以上幾個算式。然后提問：黑板上已經有4個算式了，請你估一估，哪個算式一定不正確，為什么？

生：第1個算式一定是錯的，把650估成700，21估成20，700×20=14000。另外的幾個估算的結果都是30000。

師：說得有道理，那么后面的3個算式哪一個算式的積最大呢？

生：那要算一算。

生：我覺得只算這3個還不夠，我寫的算式不一樣，但估算的積也是30000。

師：說得很棒，想一想，仔細觀察估算的積是30000的3個算式，有什么共同點？在豎式中（如圖1）填一填你發現的規律。

學生獨立填寫后反饋交流，填出了如圖2的兩種情況。

從個體猜想到集體反饋，用估算的策略構建起積最大值的兩種基本模型。這是培養學生從紛繁復雜的數學現象中發現規律，構建數學模型的基本方法。

（二）枚舉可能，分組計算

依據構建起的兩種基本模型，進行有序思考，用枚舉法補全所有可能的算式。按小組分工計算后，教師出示圖3進行校對。

同樣是計算題，由于帶著探究規律的目的，計算有了思考的價值，有利于激發學生的計算興趣。

（三）觀察分析，初步猜想

校對后，請學生比較積的大小，用圖3中的虛框，圈出積最大的數，然后引導學生觀察分析，積最大的兩個因數有什么規律。

生：最大的數字填在兩位數的十位上。

生：兩位數是由最大的數字與第二小的數字組成的。

從猜想估算到枚舉計算，從比較發現到提出假設，這是探究數學規律的基本步驟之一。教師在提供合理的學習材料的同時，要設計能夠促進學生積極思考的問題，讓問題探究成為一種內在的需要。

二、舉例驗證，發現規律

從一個例子中獲得的結論，需要通過更多的例子進行驗證，這是用歸納方法進行合情推理需要經歷的過程。

（一）舉例驗證，積累經驗

教師再次出示一組數據，提問：用1，3，5，7，8，同樣要求組成積最大的“三位數乘兩位數”算式，你能夠直接找到嗎？因為有前期探究的經驗，大多數學生都認為是751×83。這時，教師質疑：一定是這個算式嗎？如果要驗證，那可以怎樣做？

生：把所有的情況都列舉出來，然后算一算，比一比，積誰最大？

生：不用全部舉出來，只要模仿上面的例子，寫出其中的6個算式，然后算一算，比一比。

學生列出其中的6個算式，然后與前面例子一樣分組計算后校對（如圖4），發現猜想是正確的。

（二）小組舉例，合作驗證

通過兩個例子的學習，學生已經初步確定這一個規律是正確的。但是，從科學嚴謹的角度看，應該舉更多的例子進行驗證，規律的正確性就會提高。因此，教師要求以小組為單位，首先任意選5個不同的數字，然后列舉出同前面例子形式相同的6個算式，再分工計算，驗證假設。

由于是帶著探究的目的進行計算，學生在計算時更容易集中注意力，在分工合作的過程中相互幫助，互相指正。

（三）比較分析，發現規律

教師展示各小組選出的最大積的兩個因數組成的豎式。然后引導學生再次觀察，并用箭頭把5個數按從大到小的順序連一連（如圖5）。學生發現有共同點后，教師要求學生在豎式模型（如圖6）中連一連，得到圖7。

在尋找“積的最大值”的過程中，結合多種計算形式，通過比較歸納獲得了求“積的最大值”的填寫規律。在這樣的過程中，學生學到的不僅僅是一個結論，更經歷了探究數學規律的過程，培養了自己的數感。

三、變式練習，形成技能

填寫“積的最大值”的規律在數據特點發生變化時是否可行？如果改為求“積的最小值”是否也有規律？基于這兩點，教師進行了變式練習的設計與教學。

（一）當出現一個零時

書本原來的題目中，5個數字中有一個0，我們把這類問題稱為其中的一種變式。教師出示問題：把0，2，3，4，5組成一個三位數與兩位數，每個數字只能夠用一次。要使積最大，算式是（ ? ? ? ? ? ? ? ? ），最大的積是多少？

先請學生觀察并說一說這組數據與前面列舉的5個數字有什么不同的地方，原來的規律是否還成立。學生在小組內枚舉可能的算式，分工合作完成，發現原來的規律仍然可用。

這一類情況如果在前面一個教學環節——小組舉例時已經出現，那么可以在之前學習時討論總結。

（二）當出現重復數字時

5個數字中如果出現兩個數字相同時，原來的規律是否也成立呢？教師出示兩組數字，第一組是5，2，2，1，6;第二組是0，0，7，6，9。請學生先判斷，找出自己認為積最大的算式。以小組為單位驗證其中的一組，完成后匯報。驗證后發現，原來的規律還是成立的。驗證的過程，是計算練習的過程，也是培養學生邏輯思維的過程。

（三）求“積最小值”的算式

如果把尋找“積最大”的三位數乘兩位數改為“積最小”的三位數乘兩位數，是否也有一定的規律呢？能用前面的學習活動經驗來解決這一問題嗎？

教師出示題目：用5，6，7，8，9組成三位數和兩位數的乘法算式，每個數字只用一次。猜一猜，乘積最小的算式是怎樣的？

師：這個問題與前面研究的問題有什么不一樣的地方？

生：現在積要求是最小的。

師：根據前面的經驗，這個三位數乘兩位數可能是哪兩種豎式的形式？

依據學生的回答總結出如圖8兩種形式，接著分別填出6種可能（如圖9），并請學生猜一猜哪一個豎式的積會最小。然后分工計算并找到積最小的算式，最后標出5個數從小到大的排列規律（如圖10）。在以上活動的基礎上形成猜想（如圖11）。為了驗證猜想是否正確，再讓學生舉例驗證，總結出規律。

總之，當計算練習轉化成規律探究，可以讓原本枯燥的計算變成有趣的猜想驗證。在這樣的過程中，得出規律并不是主要的目的，重要的是探究的過程。因此，教師要精心設計活動環節，提出問題、發現問題、分析問題與解決問題有序展開，并能主動回顧提煉問題解決問題的過程，獲得數學活動經驗，應用于類似的數學探究之中。

（浙江省杭州市蕭山區所前鎮第二小學 ?311200）