應(yīng)用歸納法確定“三位數(shù)乘兩位數(shù)”的最大值

鐘家衛(wèi) 朱挺紅

人教版教材四年級上冊第50頁第12題是一道思考題：“用0，2，3，4，5組成三位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法算式，你能寫出幾個？你能寫出乘積最大的算式嗎？”解決這一問題有怎樣的思路？又會有什么規(guī)律呢？利用怎樣的策略讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)這一個規(guī)律呢？更進(jìn)一步，在5個數(shù)字中出現(xiàn)相同的數(shù)字時，發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是否同樣適用呢？帶著這些問題，筆者進(jìn)行了教學(xué)實踐研究。

一、嘗試猜想，提出假設(shè)

教材第12題中5個數(shù)字里面出現(xiàn)了0，填在數(shù)的末尾在豎式計算時可以簡便計算，這會影響規(guī)律的發(fā)現(xiàn)。同時，題目沒有說明是否可以重復(fù)用某一個數(shù)字，容易產(chǎn)生歧義。因此，我們把題目改為：用1，2，3，5，6組成三位數(shù)和兩位數(shù)的乘法算式，每個數(shù)字用且只用一次。這樣的乘法算式可以寫出許多個，猜一猜，乘積最大的算式可以是怎樣的？

（一）直覺猜想，比較歸類

提出問題后，學(xué)生會依據(jù)原有經(jīng)驗做出猜想。把大的數(shù)字填到最高位是學(xué)生應(yīng)有的想法。由于初次嘗試，會有不同的答案。如：（1）653×21，（2）631×52，（3）532×61，（4）521×63。教師板書以上幾個算式。然后提問：黑板上已經(jīng)有4個算式了，請你估一估，哪個算式一定不正確，為什么？

生：第1個算式一定是錯的，把650估成700，21估成20，700×20=14000。另外的幾個估算的結(jié)果都是30000。

師：說得有道理，那么后面的3個算式哪一個算式的積最大呢？

生：那要算一算。

生：我覺得只算這3個還不夠，我寫的算式不一樣，但估算的積也是30000。

師：說得很棒，想一想，仔細(xì)觀察估算的積是30000的3個算式，有什么共同點？在豎式中（如圖1）填一填你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。

學(xué)生獨立填寫后反饋交流，填出了如圖2的兩種情況。

從個體猜想到集體反饋，用估算的策略構(gòu)建起積最大值的兩種基本模型。這是培養(yǎng)學(xué)生從紛繁復(fù)雜的數(shù)學(xué)現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的基本方法。

（二）枚舉可能，分組計算

依據(jù)構(gòu)建起的兩種基本模型，進(jìn)行有序思考，用枚舉法補(bǔ)全所有可能的算式。按小組分工計算后，教師出示圖3進(jìn)行校對。

同樣是計算題，由于帶著探究規(guī)律的目的，計算有了思考的價值，有利于激發(fā)學(xué)生的計算興趣。

（三）觀察分析，初步猜想

校對后，請學(xué)生比較積的大小，用圖3中的虛框，圈出積最大的數(shù)，然后引導(dǎo)學(xué)生觀察分析，積最大的兩個因數(shù)有什么規(guī)律。

生：最大的數(shù)字填在兩位數(shù)的十位上。

生：兩位數(shù)是由最大的數(shù)字與第二小的數(shù)字組成的。

從猜想估算到枚舉計算，從比較發(fā)現(xiàn)到提出假設(shè)，這是探究數(shù)學(xué)規(guī)律的基本步驟之一。教師在提供合理的學(xué)習(xí)材料的同時，要設(shè)計能夠促進(jìn)學(xué)生積極思考的問題，讓問題探究成為一種內(nèi)在的需要。

二、舉例驗證，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

從一個例子中獲得的結(jié)論，需要通過更多的例子進(jìn)行驗證，這是用歸納方法進(jìn)行合情推理需要經(jīng)歷的過程。

（一）舉例驗證，積累經(jīng)驗

教師再次出示一組數(shù)據(jù)，提問：用1，3，5，7，8，同樣要求組成積最大的“三位數(shù)乘兩位數(shù)”算式，你能夠直接找到嗎？因為有前期探究的經(jīng)驗，大多數(shù)學(xué)生都認(rèn)為是751×83。這時，教師質(zhì)疑：一定是這個算式嗎？如果要驗證，那可以怎樣做？

生：把所有的情況都列舉出來，然后算一算，比一比，積誰最大？

生：不用全部舉出來，只要模仿上面的例子，寫出其中的6個算式，然后算一算，比一比。

學(xué)生列出其中的6個算式，然后與前面例子一樣分組計算后校對（如圖4），發(fā)現(xiàn)猜想是正確的。

（二）小組舉例，合作驗證

通過兩個例子的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)初步確定這一個規(guī)律是正確的。但是，從科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕嵌瓤矗瑧?yīng)該舉更多的例子進(jìn)行驗證，規(guī)律的正確性就會提高。因此，教師要求以小組為單位，首先任意選5個不同的數(shù)字，然后列舉出同前面例子形式相同的6個算式，再分工計算，驗證假設(shè)。

由于是帶著探究的目的進(jìn)行計算，學(xué)生在計算時更容易集中注意力，在分工合作的過程中相互幫助，互相指正。

（三）比較分析，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

教師展示各小組選出的最大積的兩個因數(shù)組成的豎式。然后引導(dǎo)學(xué)生再次觀察，并用箭頭把5個數(shù)按從大到小的順序連一連（如圖5）。學(xué)生發(fā)現(xiàn)有共同點后，教師要求學(xué)生在豎式模型（如圖6）中連一連，得到圖7。

在尋找“積的最大值”的過程中，結(jié)合多種計算形式，通過比較歸納獲得了求“積的最大值”的填寫規(guī)律。在這樣的過程中，學(xué)生學(xué)到的不僅僅是一個結(jié)論，更經(jīng)歷了探究數(shù)學(xué)規(guī)律的過程，培養(yǎng)了自己的數(shù)感。

三、變式練習(xí)，形成技能

填寫“積的最大值”的規(guī)律在數(shù)據(jù)特點發(fā)生變化時是否可行？如果改為求“積的最小值”是否也有規(guī)律？基于這兩點，教師進(jìn)行了變式練習(xí)的設(shè)計與教學(xué)。

（一）當(dāng)出現(xiàn)一個零時

書本原來的題目中，5個數(shù)字中有一個0，我們把這類問題稱為其中的一種變式。教師出示問題：把0，2，3，4，5組成一個三位數(shù)與兩位數(shù)，每個數(shù)字只能夠用一次。要使積最大，算式是（ ? ? ? ? ? ? ? ? ），最大的積是多少？

先請學(xué)生觀察并說一說這組數(shù)據(jù)與前面列舉的5個數(shù)字有什么不同的地方，原來的規(guī)律是否還成立。學(xué)生在小組內(nèi)枚舉可能的算式，分工合作完成，發(fā)現(xiàn)原來的規(guī)律仍然可用。

這一類情況如果在前面一個教學(xué)環(huán)節(jié)——小組舉例時已經(jīng)出現(xiàn)，那么可以在之前學(xué)習(xí)時討論總結(jié)。

（二）當(dāng)出現(xiàn)重復(fù)數(shù)字時

5個數(shù)字中如果出現(xiàn)兩個數(shù)字相同時，原來的規(guī)律是否也成立呢？教師出示兩組數(shù)字，第一組是5，2，2，1，6;第二組是0，0，7，6，9。請學(xué)生先判斷，找出自己認(rèn)為積最大的算式。以小組為單位驗證其中的一組，完成后匯報。驗證后發(fā)現(xiàn)，原來的規(guī)律還是成立的。驗證的過程，是計算練習(xí)的過程，也是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維的過程。

（三）求“積最小值”的算式

如果把尋找“積最大”的三位數(shù)乘兩位數(shù)改為“積最小”的三位數(shù)乘兩位數(shù)，是否也有一定的規(guī)律呢？能用前面的學(xué)習(xí)活動經(jīng)驗來解決這一問題嗎？

教師出示題目：用5，6，7，8，9組成三位數(shù)和兩位數(shù)的乘法算式，每個數(shù)字只用一次。猜一猜，乘積最小的算式是怎樣的？

師：這個問題與前面研究的問題有什么不一樣的地方？

生：現(xiàn)在積要求是最小的。

師：根據(jù)前面的經(jīng)驗，這個三位數(shù)乘兩位數(shù)可能是哪兩種豎式的形式？

依據(jù)學(xué)生的回答總結(jié)出如圖8兩種形式，接著分別填出6種可能（如圖9），并請學(xué)生猜一猜哪一個豎式的積會最小。然后分工計算并找到積最小的算式，最后標(biāo)出5個數(shù)從小到大的排列規(guī)律（如圖10）。在以上活動的基礎(chǔ)上形成猜想（如圖11）。為了驗證猜想是否正確，再讓學(xué)生舉例驗證，總結(jié)出規(guī)律。

總之，當(dāng)計算練習(xí)轉(zhuǎn)化成規(guī)律探究，可以讓原本枯燥的計算變成有趣的猜想驗證。在這樣的過程中，得出規(guī)律并不是主要的目的，重要的是探究的過程。因此，教師要精心設(shè)計活動環(huán)節(jié)，提出問題、發(fā)現(xiàn)問題、分析問題與解決問題有序展開，并能主動回顧提煉問題解決問題的過程，獲得數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，應(yīng)用于類似的數(shù)學(xué)探究之中。

（浙江省杭州市蕭山區(qū)所前鎮(zhèn)第二小學(xué) ?311200）