比例學(xué)習(xí)中的直覺與錯誤

方杏 郜舒竹

【摘 ? 要】比例以及相應(yīng)的思維方式，是貫穿數(shù)學(xué)課程始終的學(xué)習(xí)內(nèi)容。關(guān)于這一內(nèi)容的直覺與錯誤成為重要的研究內(nèi)容。綜合國內(nèi)外的文獻(xiàn)，厘清和梳理出相應(yīng)的直覺規(guī)律和錯誤成因，可以有效利用這些資源，對教師教學(xué)以及其課程開發(fā)產(chǎn)生積極作用。

【關(guān)鍵詞】比例;直覺;錯誤

“直覺”是指沒有經(jīng)過充分分析驗證的直觀感覺或判斷。布洛赫（Bloch）認(rèn)為：“直覺是把那些已經(jīng)了解很充分的認(rèn)識拼起來，形成一個完整的認(rèn)識。”[1]菲斯貝茵（Fischbein）認(rèn)為，直覺是沒有經(jīng)過復(fù)雜的思考過程和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明，不加任何思索產(chǎn)生的瞬間想法，并且直覺是超出給定事實的即刻認(rèn)知，是一種暗示超出直接可獲得的信息的外推理論。托夫和斯騰伯格（Torff & Sternberg）認(rèn)為，直覺是沒有經(jīng)過深思熟慮的反應(yīng)過程，順從且不加批評地對事實產(chǎn)生共鳴。直覺，是直接得到的感覺，即在經(jīng)驗和已有知識的基礎(chǔ)上，不經(jīng)過邏輯推理而直接迅速地認(rèn)知事物的思維活動。[2]數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中產(chǎn)生的錯誤往往源于直覺。

一、直覺規(guī)律

以色列學(xué)者蒂羅什與斯塔維（Dina Tirosh & Ruth Stavy）等人在菲斯貝茵（Fischbein）直覺理論的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在面對問題時會出現(xiàn)規(guī)律性的直覺，歸納出直覺規(guī)律：“越A-越B（More A-More B）”“同A-同B（Same A-Same B）”“不同A-不同B（Different A-Different B）”和“線性A-線性B（Linear A-Linear B）”等規(guī)律。所使用的直覺規(guī)律為：“越A-越B”“線性A-線性B”。

“越A-越B”反映學(xué)生在解決問題的過程中，其中兩個對象在某個顯著數(shù)量A上存在明顯的不同（A1> A2），然后要求學(xué)生比較這兩個對象相對于另一個數(shù)量B（B1= B2或B1

“線性A-線性B”主要體現(xiàn)學(xué)生在解決問題時依據(jù)線性屬性進(jìn)行推理，從而產(chǎn)生線性誤解。例如，當(dāng)一個物體的某個向度擴(kuò)大或增加[n]倍，另一個向度也會被認(rèn)為擴(kuò)大或增加[n]倍。比如，“一個正方形的邊長擴(kuò)大2倍，那么面積是原來的多少倍？”有學(xué)生會認(rèn)為是原來的2倍，即遵循直覺規(guī)律邊長擴(kuò)大2倍（成倍數(shù)關(guān)系），面積擴(kuò)大2倍（也成倍數(shù)關(guān)系）。學(xué)生對線性概念的熟悉程度和經(jīng)驗是非常重要的，通常也是導(dǎo)致出現(xiàn)各種線性誤解的內(nèi)在原因。

低年級學(xué)生能夠?qū)唵蔚谋壤龁栴}給出正確的答案，比如，買1顆糖果2元錢，2顆糖果4元錢。因此，這種不經(jīng)計算，依據(jù)數(shù)字關(guān)系便得出結(jié)果的數(shù)字模型形成學(xué)生的一種思維模式，當(dāng)問題中出現(xiàn)學(xué)生非常熟悉的維度，比如成比例的數(shù)字、時間與速度等字眼時，學(xué)生會不假思索地使用所熟悉的關(guān)系進(jìn)行計算。維姆·范·沃倫（Wim Van Dooren）等人對三至八年級的大班學(xué)生進(jìn)行了包含比例問題和各種非比例問題的測試，其中在問題“愛倫和基姆在跑道上跑步。他們跑得同樣快，但愛倫后來起步。當(dāng)愛倫跑了4圈時，基姆跑了8圈。當(dāng)愛倫跑了12圈時，基姆跑了多少圈”中，三年級學(xué)生有30%是按比例思路回答的，并且從三年級到六年級這一比例顯著增加。[3]學(xué)生過度利用比例推理的解題思路，便是對比例方法的過度依賴而形成的比例性直覺思維，即形成“線性A-線性B”直覺規(guī)律。

蒂羅什與斯塔維所提出的直覺規(guī)律中，除“越A-越B”“線性A-線性B”，還有“同A-同B”“不同A-不同B”。“同A-同B”規(guī)律反映問題中所涉及的兩個對象，顯著的數(shù)量[A1=A2]，而另一個數(shù)量[B1≠B2]，但是在比較量B的時候?qū)W生往往依據(jù)顯著相等的量A，而做出判斷“[B1=B2]”。用以下例子說明。

蒂娜·蒂羅什與魯思·斯塔維（Dina Tirosh & Ruth Stavy）依據(jù)利夫尼（Livne）的研究，設(shè)計了比較不同大小的立方體表面積與體積之比的測試（如圖2）：在兩個不同大小的立方體中，立方體1的表面積與體積之比是等于、大于還是小于立方體2的表面積與體積之比？并解釋。

如圖2所示，兩個立方體形狀一樣，大小不一樣。參加測試的均為系統(tǒng)學(xué)習(xí)過立體圖形知識的高年級學(xué)生，為九到十二年級。經(jīng)統(tǒng)計，三個年級中認(rèn)為[C1V1=C2V2]的學(xué)生分別占了41%，45%，55%。典型的解釋為：“立方體1、立方體2都是形狀相同的正方體。”從直覺規(guī)律的視角來看，這一解釋恰好符合“只要形狀相同，表面積與體積之比相同”的直覺規(guī)律。

“不同A-不同B”反映的是學(xué)生在比較兩個對象時，由于兩個對象在量A上存在明顯的差異，自然而然地認(rèn)為兩個對象的量B也不同。例如比較兩個形狀不同（面積相等）的三角形的面積（如圖3），學(xué)生會認(rèn)為形狀不同，面積就不同，即“形狀不同，面積就不同”。此規(guī)律為“同A-同B”規(guī)律的相反面，其直覺思維的本質(zhì)是一樣的。

此外，塞浦路斯大學(xué)（University of Cyprus）的兩位學(xué)者（Lambros Stephanou & Demetra Pitta-Pantazi）使用了“如果A-那么B （if A， then B - if not A， then not B）”直覺規(guī)律對學(xué)生在解決面積與周長的問題中出現(xiàn)的錯誤進(jìn)行了解釋。[4]可見，直覺規(guī)律客觀存在于學(xué)生某種特定的思維中，并且會被具有特定形式的問題喚醒。

蒂羅什與斯塔維認(rèn)為，學(xué)生對給定的數(shù)學(xué)科學(xué)測試的反應(yīng)往往是受到測試題目共同的外顯特征的影響，這些特征觸發(fā)了直覺規(guī)律的使用。[5]例如，皮亞杰曾進(jìn)行了讓4到9歲兒童比較玩具火車運動時間的實驗（火車行駛時間相同，速度不同）。實驗顯示，一些兒童認(rèn)為“跑得更快的火車用的時間更長”或者“跑在前面的火車用的時間更長”。顯然，受測兒童對火車行駛時間的判斷是受到火車“跑得快、跑在前面”等外顯因素的影響，若以直覺規(guī)律解釋，即“越A（距離越長或速度越大）-越B（時間越長）”。在過去幾十年，隨著數(shù)學(xué)和科學(xué)概念的發(fā)展，人們開始注意到學(xué)生的直覺反應(yīng)，通常認(rèn)為直覺反應(yīng)是與特定的內(nèi)容域有關(guān)的認(rèn)知形式，如面積、長度、體積、濃度等。但是直覺規(guī)律的應(yīng)用是非常普遍的，學(xué)生一旦建立某一規(guī)律，便很難改變，并且會理所當(dāng)然地對所推斷或證明的事物產(chǎn)生認(rèn)同，即個體主觀地強加給自己，認(rèn)為是絕對且獨特的解釋或方法，而不接受其他任何選擇。

直覺規(guī)律作為學(xué)生對特定問題思考的一種方式，教師可以通過它預(yù)設(shè)學(xué)生在面對同類型問題時可能會出現(xiàn)的解決方案，學(xué)生對具有共同特征的問題會產(chǎn)生的類似的反應(yīng)。蒂羅什與斯塔維提出直覺規(guī)律的理論具有預(yù)測能力，教師可以預(yù)見學(xué)生對特定問題情境的錯誤反應(yīng)，并借此調(diào)整教學(xué)環(huán)節(jié)，以幫助學(xué)生克服錯誤的直覺反應(yīng)。[6]因此，在了解學(xué)生思維習(xí)慣的基礎(chǔ)上，可以預(yù)設(shè)學(xué)生在某個問題上可能出現(xiàn)的學(xué)習(xí)困難點。

雖然學(xué)生的直覺規(guī)律無法強制被改變，但是教師可以依據(jù)直覺規(guī)律預(yù)測學(xué)生可能出現(xiàn)的思維結(jié)果，學(xué)生在知識上的推斷特征對于教師教學(xué)以及其課程開發(fā)具有重要意義。

二、直覺的來源

學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)各種解題錯誤是非常普遍的，而直覺規(guī)律也伴隨其中。蒂羅什與斯塔維根據(jù)學(xué)生的反應(yīng)，提出學(xué)生在遵循直覺規(guī)律的同時伴隨著巨大的信心，并且會堅持使用。[7]這與學(xué)生在學(xué)校的正式學(xué)習(xí)是相違背的，但是卻符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，直接知覺在兒童智力操作系統(tǒng)中具有首要地位。直覺規(guī)律的形成主要有兩方面的來源：第一是先天的傾向性。許多研究者表示，固有概念及其形式早在先天就已存在。杰肯道夫（Jackendoff）、維爾茨比卡（Weirzbicka）認(rèn)為這些固有概念都源于一組具有普遍適用性的初始語言。比如，一些數(shù)字感覺在出生時起就存在頭腦里，并且一直延續(xù)。第二是成功的經(jīng)驗。蒂羅什和斯塔維認(rèn)為，直覺規(guī)律是對成功經(jīng)驗的過度概括。學(xué)生在日常生活及學(xué)校學(xué)習(xí)的過程中，不斷積累各種知識與經(jīng)驗，知識的學(xué)習(xí)是不斷更新與深入的，而成功的經(jīng)驗是以過去的知識為基礎(chǔ)的。這種在過去普遍適用的經(jīng)驗在學(xué)生頭腦中逐步形成一組“通用準(zhǔn)則”，在遇到新的（外顯特征）類似的問題時，不假思索地遵循并使用。

學(xué)生解題策略的選擇關(guān)系著最終答案的對錯。小學(xué)階段學(xué)生常用的解題策略有單價法、公式法、倍數(shù)法、累加法等。研究者的研究內(nèi)容之一是探討學(xué)生解題策略的不當(dāng)使用所導(dǎo)致的錯誤并解釋其原因。以下詳細(xì)分析這幾種解題策略。

單價法，是指先求“一單位”的量，再進(jìn)行計算的方法。使用單價法解題，學(xué)生首先需要掌握單位化（或基準(zhǔn)化）的能力。單位化（unitizing）能力，就是在解比例問題時，先求出單位量，再利用單位量來解題。在一個比的乘法操作（加法策略）基礎(chǔ)上，將比例擴(kuò)展到第二個比，即單價比。所謂“單價比”就是首先需要學(xué)生找出當(dāng)某物為一單位時，另一物相當(dāng)多少單位這種比的關(guān)系，然后推斷前者增加到一定量后，另一物應(yīng)該增加多少。[8]比如：10個雞蛋12元，36元能買多少個雞蛋？學(xué)生首先得到1個雞蛋的價格1.2元，然后通過加法或乘法推導(dǎo)出36元能買到的雞蛋的數(shù)量。魯普爾在比例教學(xué)研究中發(fā)現(xiàn)兩步作業(yè)法，即：找出單價比;用單價比計算結(jié)果。

公式法，也叫十字相乘法。即在比例式子“[a：b=c：x]”中，內(nèi)項乘積等于外向乘積，也就是“[bc=ax]”，可求得“[x=bca]”;或者利用比值相等“[ab=cx]”，再交叉相乘求出“[bc=ax]”，進(jìn)而求得“[x=bca]”。這種以純粹數(shù)字運算解題的方法，雖然比較快速精確，但容易使學(xué)生忽略對比例問題的真正理解，養(yǎng)成一味套公式的習(xí)慣。

倍數(shù)法是指學(xué)生利用兩個比例式中的前項（后項）之間的倍數(shù)關(guān)系，求出后項（前項）的方式。[9]可通過以下例子說明：有甲、乙兩根粗細(xì)和材質(zhì)均相同的柱子，甲長4米，重6千克，乙長7米，重幾千克？學(xué)生首先算出乙柱子長度是甲的[74]倍，然后用[74]×6的方法得出乙柱子的重量。許多實驗研究者（哈特、拉蒙、瓦塔納貝等）也認(rèn)為學(xué)生在解決比例問題時，經(jīng)常使用倍數(shù)法策略。

累加法即加法策略，也叫恒定差異策略，這是針對低年級兒童普遍采用的策略，即將數(shù)值關(guān)系視為比差關(guān)系，通過加減操作解決比例問題。第四軍醫(yī)大學(xué)心理學(xué)教研室的苗丹民等人研究認(rèn)為，四五歲的兒童僅能作定性描述，即判斷誰多誰少，初小學(xué)生則能作定量性描述。學(xué)生借由連續(xù)相加的累加方法來建立比例關(guān)系，比如，1個菠蘿6元錢，4個菠蘿多少錢？學(xué)生會用“1個6元，2個12 元，3個18元……”這樣連續(xù)累加的方法解題。使用累加策略解題，學(xué)生對于比較簡單的問題可以成功解決，但問題若包含非整數(shù)，則只有少數(shù)學(xué)生可以使用此策略成功解決。使用加法策略是兒童比例概念發(fā)展過程中的一個必經(jīng)階段，盡管這種策略建立在非比例概念的水平上，但它卻成為解決比例問題策略的基礎(chǔ)，并為解決簡單的比例問題提供了方法。

以上是解決比例問題主要運用的幾種方法策略。單價法、公式法、倍數(shù)法實質(zhì)上都是乘法的運算，因此這里將其歸為“乘法策略”，累加法是基于乘法的重復(fù)相加特性，具有加性推理的特征，因此將具有加性推理的方法歸為“加法策略”。學(xué)生從入學(xué)起，最先接觸并進(jìn)行系統(tǒng)學(xué)習(xí)的是加法運算。加法與乘法同樣是學(xué)生解決比與比例問題的運算策略，但是其思維方式有明顯的差異。乘法思維不僅包含加法，而且在其基礎(chǔ)上滲透更深層次的思考。

三、比例思維中的直覺與錯誤

國外不少研究者對學(xué)生的錯誤進(jìn)行了研究，其范圍也從單純的計算擴(kuò)展到代數(shù)、幾何、統(tǒng)計等領(lǐng)域的各個方面。例如，美國學(xué)者巴斯韋爾（Buswell）和賈德（Judd）對學(xué)生算術(shù)錯誤進(jìn)行了診斷研究，德國、蘇聯(lián)等國也開展了學(xué)生錯誤研究。隨著數(shù)學(xué)錯誤研究的進(jìn)一步深化，國外學(xué)者對數(shù)學(xué)錯誤有了更為科學(xué)化的認(rèn)識。美國學(xué)者厄爾溫格（Erlwanger）、阿什洛克（Ashlock）、金斯伯格（Ginsburg）等人經(jīng)過對數(shù)學(xué)錯誤的系統(tǒng)研究，認(rèn)為錯誤是合理的，不是偶然的，是有規(guī)律可循的。并且從學(xué)習(xí)者身上觀察到的一系列錯誤表明，錯誤不是教師教給的，而是學(xué)習(xí)者構(gòu)造了自己特有的概念與程式造成的。[10]因此他們更強調(diào)數(shù)學(xué)錯誤的合理性。學(xué)生學(xué)習(xí)的過程也是一個不斷犯錯的過程，錯誤是學(xué)生學(xué)習(xí)過程中必不可少的組成部分。美國學(xué)者拉菲拉（Rafflella）提出將學(xué)生的數(shù)學(xué)錯誤資源作為教學(xué)探究的一個出發(fā)點，主張利用學(xué)生的數(shù)學(xué)錯誤來支持并指導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)探究活動。[11]

貝爾（Behr）、哈雷爾（Harel）、萊什（Lesh）、基倫（Kieren）等研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)概念尚未完全開發(fā)時，學(xué)生會在解決比例問題時遇到困難和系統(tǒng)性錯誤。例如問題：“制作一杯橙汁需要2個橙子5份水，現(xiàn)在有10個橙子，要制作味道一樣的橙汁，需要多少水？”學(xué)生會認(rèn)為現(xiàn)在比原來多了“[10-2=8]”個橙子，所以還需要8份水，因此需要“[5+8=13]”份水。這種便屬于錯誤的加法解題策略。相反，人們也常常認(rèn)為，以比例為特征的數(shù)學(xué)情境具有相當(dāng)簡單的結(jié)構(gòu)，當(dāng)概念被開發(fā)時，它往往會受到越來越明顯甚至直觀的特征的影響。原因是從很小的時候開始，兒童便有頻繁的課外經(jīng)歷并與比例問題相關(guān)聯(lián)，例如，買一顆糖果2塊錢，兩顆糖果4元錢;一輛玩具車有4個輪子，兩輛玩具車有8個輪子……這些成功的推理經(jīng)驗不僅成為正式的比例概念學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，也使比例推理的模型根深蒂固。

許多五至八年級的學(xué)生錯誤地認(rèn)為，如果一個正方形邊長擴(kuò)大2倍，即周長擴(kuò)大2倍，那么它的面積和體積也會擴(kuò)大2倍。也就是說，學(xué)生對比例概念的熟悉程度與經(jīng)驗可能導(dǎo)致他們在其他更多方面的應(yīng)用，甚至是不適用的情況，從而產(chǎn)生錯誤。布朗農(nóng)（Brannon）、麥克林克和永利（McCrink & Wynn）等學(xué)者研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)齡前甚至更小的兒童已經(jīng)具備了直覺性的乘法思維，但是小學(xué)低年級的數(shù)學(xué)教學(xué)過度地訓(xùn)練了加法思維，因此隨著知識學(xué)習(xí)的不斷深入與擴(kuò)展，一些方法已經(jīng)不適用于某些新的問題，但是學(xué)生依然憑借直覺來選擇原來的解題策略。

學(xué)生在解決比例問題時總會出現(xiàn)各種錯誤，原因多種。美國學(xué)者康弗里（Confrey）認(rèn)為，學(xué)生在數(shù)學(xué)問題解決中的知識建構(gòu)，體現(xiàn)在他們掌握問題情境的基礎(chǔ)上運用策略的過程中。中高年級的學(xué)生解決問題時，第一步是讀懂題意。比如“相遇問題”“追擊問題”中，理解題意也是學(xué)生厘清“速度”“時間”“路程”之間關(guān)系的關(guān)鍵。

蒂羅什與斯塔維認(rèn)為，學(xué)生在許多不相關(guān)但具有一些共同的外部特征的概念上反應(yīng)類似。[12]學(xué)生出錯的原因主要是對概念的誤解，反映在解題過程中往往不能深入理解數(shù)量之間的內(nèi)在聯(lián)系，而是憑借直觀上的特征得出結(jié)論。皮亞杰的經(jīng)典實驗研究了4到9歲的兒童對小火車運動事件的判斷，發(fā)現(xiàn)兒童認(rèn)為速度快的火車運動時間更長。與皮亞杰實驗類似，哈卡姆阿哈隆（Hakham-Aharon）對從學(xué)齡前到六年級的學(xué)生進(jìn)行的火車運動測試中，學(xué)齡前到四年級的大部分學(xué)生和五到六年級的37%的學(xué)生都認(rèn)為速度快的火車，跑的路程更長。[13]這些學(xué)生的回答都沒有考慮運動“時間”，而由直觀感受“更快”所以“更遠(yuǎn)”直接得出結(jié)果。學(xué)生對“速度”概念的理解往往可以直接聯(lián)系到“路程”，而忽略“時間”。萊文（Levin）要求學(xué)前兒童判斷兩個大小不一樣的燈管的照明時間哪個更長時（照明時間一樣），大部分兒童認(rèn)為大的燈管照明時間更長。說明學(xué)生在做判斷時，往往容易考慮顯而易見但其實并不相關(guān)的因素，忽略概念的內(nèi)在關(guān)系。比如，比較兩個物體速度時，認(rèn)為跑在前面的物體速度更快。數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種基本形式，概念理解的好壞在很大程度上影響著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

魯汶大學(xué)教學(xué)心理學(xué)與技術(shù)中心（ Centre for Instructional Psychology and Technology， University of Leuven）的研究者維姆·范·沃倫等人（ Wim Van Dooren、Dirk De Bock、Marleen Evers and Lieven Verschaffel）對508名小學(xué)中高年級的學(xué)生進(jìn)行了測試，發(fā)現(xiàn)學(xué)生解決比例或非比例問題時，題目中成比例結(jié)構(gòu)的數(shù)字會影響學(xué)生解題的策略，從而產(chǎn)生正誤不同的結(jié)果。研究表明，對于比例問題，非整數(shù)比會增加非比例推理的使用;對于非比例問題，非整數(shù)比可以減少比例推理的過度使用;只有在加性非比例問題的情況下，這種減少伴隨著正確答案的增加。[14]維姆·范·沃倫等人調(diào)查了比例推理誤用隨著年齡和學(xué)生教育經(jīng)歷的發(fā)展而變化的情況，對1062名二至八年級學(xué)生進(jìn)行了紙筆測驗，包括幾種具有缺失值結(jié)構(gòu)的比例和非比例算術(shù)題。[15]結(jié)果發(fā)現(xiàn)，學(xué)生傾向于在非比例問題中運用比例性推理解題。

以上研究從比例的不同方面出發(fā)開展學(xué)生錯誤的研究。其中包括依據(jù)兒童解決比例問題時所采用的策略;從發(fā)展的角度刻畫不同年齡兒童比例概念和比例推理的發(fā)展梯度;從數(shù)學(xué)概念的歷史發(fā)展與個體認(rèn)知發(fā)展的角度論述不同類型比例計算策略的出現(xiàn)階段;從問題解決的各種影響因素出發(fā)探討兒童比例問題解決的效果;等等。

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（首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院 ? 100048）