初探高中數學圓錐曲線問題中的等價轉化思想

李嘉豪

圓錐曲線屬于解析幾何部分內容，而解析幾何的中心思想是借助笛卡兒直角坐標系，用代數的方法研究幾何問題。因此，圓錐曲線問題看似是幾何問題，本質上卻是代數問題。經過大量的實踐演練，筆者發現數學問題的解決就好比語言等價翻譯的過程，將用文字語言描述的數學問題翻譯為用數學語言表達的過程，再輔助結合我們的運算能力，便能將問題快速解決。在兩種語言的翻譯過程中，充分體現了等價轉化的數學思想，而圓錐曲線問題則是考查我們數學等價轉化能力的典型題目。下面筆者將結合典型例題進行說明。

例1（2018·全國卷I）設橢圓的右焦點為F，過F的直線l與C交于A，B兩點，點M的坐標為（2，0）。

（1）當l與x軸垂直時，求直線AM的方程;

（2）設0為坐標原點，證明：∠OMA=∠OMB。

思路分析：根據題設條件可以直接得到右焦點F的坐標。由于直線l為過點F的直線，首先需要考慮直線斜率存在還是不存在的問題。若直線l的斜率不存在，則直接得到直線方程，進而求出點A、B兩點的坐標。若直線l的斜率存在，由于已知直線上一點F的坐標，便可設直線的點斜式方程，引人參數k，然后用參數k表示點A、B的坐標。至此，所有的未知量都最終歸結為含有參數k的表達式，文字語言的翻譯工作基本完成，接下來便是純粹的計算問題。

（1）要求直線AM的方程，題目中已知點M的坐標，只需求出點A的坐標即可。此時直線l與x軸是垂直的關系，且已知點F的坐標，根據上面的分析，很容易得到點A坐標，求出直線AM的方程。

（2）要證明兩個角相等，將這個幾何問題轉化為代數問題的銜接知識是三角函數。在圓錐曲線中，與角緊密相關的是直線的斜率，此時便很容易想到兩個角的正切值。在直線傾斜角范圍內，若兩個角的正切值相等，則兩個角相等，反之也成立。這樣證明兩角相等的問題便等價轉化為證明兩個角的正切值相等，也就是對應直線的斜率相等。要表示斜率離不開點的坐標。根據上面的分析可知，直線斜率不存在時，可以求出點的坐標，斜率存在時，可以用參數k表示點的坐標，于是可采用“設而不求”的方法證明等式成立。

解：（1）由已知得F（1，0），l的方程為x=1。

綜上，∠OMA=∠OMB。

例2（2017·全國卷I）已知橢圓（a>b>0），四點P1（1，1），P2（0，1），

P3（）、P4（）中恰有三點在橢圓上。

（1）求C的方程。

（2）設直線l不經過P2點且與C相交于A，B兩點。若直線P2A與直線P2B的斜率之和為-1，證明：l過定點。

思路分析：（1）根據題設條件三個點在橢圓C上，那么是哪三個點在橢圓上就顯得非常重要。根據橢圓圖形的特征，結合判斷點是否在橢圓上的方法，很容易得到點P2，P3，P。三個點在橢圓上。這樣就很容易求出橢圓的方程。

（2）第二問涉及直線和橢圓的位置關系，離不開直線方程，此時首先要考慮的是直線斜率不存在的情況是否符合題設條件。當直線l斜率存在時，由于直線的已知信息較少，可以根據常規方法設直線的斜截式方程y=kx+m（m≠1），引入參數k，m，設點A、B坐標（盡管此時參數較多，但可以由題目中的條件尋找參數之間關系，消參，將問題轉化到某一個參數上）。根據題設條件將直線與橢圓方程聯立，利用韋達定理尋找兩點坐標之間的關系，同時也找到了兩點坐標與參數之間的關系，這樣本來多個參數問題便歸為兩個參數k、m的問題。又直線P2A與直線P2B的斜率之和為-1，利用各點的坐標得到等式，進一步消參，最終只剩下一個參數問題。至此，題目條件已經用完，此時回歸問題，將參數之間關系代入直線方程便可得證。

解：（1）由于P3，P。兩點關于y軸對稱，故由題設知橢圓C經過Pg，P4兩點。

圓錐曲線問題是高中階段學習的重中之重，盡管近些年難度有所降低，但所涉及的知識點繁多，覆蓋范圍廣，對大部分同學來說還是一道坎。這就需要大家在掌握基本知識的基礎上，能夠對所學知識活學活用，能夠將知識之間的關系進行等價轉化，從而做到以不變應萬變。