熟記結(jié)論和方法巧解解幾選擇題

張禺

解析幾何在高中數(shù)學(xué)中的地位十分重要，每年高考數(shù)學(xué)試卷中解析幾何的分值都在20分左右，這些題目往往運(yùn)算量比較大，同學(xué)們得分率一直不高，究其原因還是同學(xué)們沒有掌握一定的方法，尤其是客觀題，有時(shí)候沒必要像解答題那樣一步一步地去計(jì)算。我們要追求小題小算，盡量不算。如果掌握了一些常用的結(jié)論和解題技巧，就能避開復(fù)雜運(yùn)算，直搗問題本質(zhì)！本文總結(jié)了一些平時(shí)常用的方法和結(jié)論，希望對(duì)同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所幫助。

結(jié)論1

橢圓上的點(diǎn)到中心最近的距離是短半軸長，最遠(yuǎn)的距離是長半軸長：

橢圓上到焦點(diǎn)的距離最大和最小的兩個(gè)點(diǎn)就是長軸的兩個(gè)端點(diǎn)：

圓錐曲線（橢圓，雙曲線或拋物線）上過焦點(diǎn)的所有弦中，通徑最短。

高考真題：“神舟八號(hào)”衛(wèi)星運(yùn)行的軌道是以地球中心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，近地點(diǎn)為mkm，遠(yuǎn)地點(diǎn)為nkm，地球的半徑為Rkm，則“神舟八號(hào)”衛(wèi)星運(yùn)行軌道的短軸長等于（）。

A.

B.

C.

D.

解析：

聯(lián)考真題1：

解析：

聯(lián)考真題2：已知直線l過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F，交拋物線于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A、B到y(tǒng)軸的距離分別為m、n，則m+n+2的最小值為（）。

A.

B.

C.4

D.6

解析：拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F（1，0），準(zhǔn)線方程為x=-1。由于直線l過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F，交拋物線于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A、B到y(tǒng)軸的距離分別為m、n，所以由拋物線的定義得m+n+2=|AB|，其最小值即為通徑長2p=4。故選C。

結(jié)論2

（1）橢圓上任一點(diǎn)P與兩點(diǎn)A（-a，0），B（a，0）的連線的斜率之積是e2-1;

（2）橢圓上任一點(diǎn)P與橢圓上兩定點(diǎn)A（x0，y0），B（-x0，-y0）的連線的斜率之積是e2-1。

推廣到一般結(jié)論：

（1）設(shè)A，B是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是該橢圓上任一點(diǎn)，則直線PA，PB的斜率之積是e2-1，雙曲線也有類似結(jié)論。

（2）設(shè)A，B是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是該橢圓上任一點(diǎn)，則直線PA，PB的斜率之積是，雙曲線也有類似結(jié)論。

高考真題：已知A、B、P是雙曲線上不同的三點(diǎn)，且A、B連線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線PA，PB的斜率之積kPA·kPB=，則該雙曲線的離心率為（）。

A.

B.

C.

D.

解析：由結(jié)論容易知道，解得，所以答案為D。

聯(lián)考真題：雙曲線M：（a>0，b>0）實(shí)軸的兩個(gè)頂點(diǎn)為A、B，點(diǎn)P為雙曲線M上除A、B外的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若QA⊥PA且QB⊥PB，則動(dòng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡為（）。

A.圓

B.橢圓

C.雙曲線

D.拋物線

解析：

兩式相乘即得軌跡為雙曲線，選C。

結(jié)論3

橢圓中的“垂徑定理”：已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l與橢圓（a>b>0）交于A、B兩點(diǎn)，

由“點(diǎn)差法”推導(dǎo)出來，同學(xué)們可自行嘗試證明。

高考真題：已知橢圓的右焦點(diǎn)為F（3，0），過點(diǎn)F的直線交橢圓E于A、B兩點(diǎn)。若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-1），則橢圓E的方程為（）。

A.

B.

C.

D.

解析：由題意知kl，即kAB=，中點(diǎn)到原點(diǎn)的斜率為-1，所以，只有D選項(xiàng)符合，經(jīng)檢驗(yàn)D正確。

聯(lián)考真題：若橢圓弦被點(diǎn)（4，2）平分，則這條弦所在的直線方程是（）。

A.x-2y=0

B.x+2y-4=0

C.2x+3y-12=0

D.x+2y-8=0

解析：根據(jù)橢圓的垂徑定理，容易求得，直線還要經(jīng)過點(diǎn)（4，2），只有D項(xiàng)符合，故選D。

結(jié)論4

經(jīng)過雙曲線上一點(diǎn)分別作兩漸近線的平行線，那么這四條線圍成的平行四邊形的面積是

聯(lián)考真題：已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線上有一點(diǎn)P，過P作兩條漸近線的平行線，且與兩漸近線的交點(diǎn)分別為A、B，平行四邊形OBPA的面積為1，則雙曲線的離心率為（）。

A.

B.

C.

D.

解析：平行四邊形的面積與點(diǎn)P的位置無關(guān)，其面積是定值。故本題應(yīng)用此結(jié)論，即得=1，又b=1，故a=2。容易得到e=，選C。