拋物線問題，定義先行

王佩其

在解析幾何中，拋物線問題的求解往往離不開拋物線定義。拋物線定義不僅能幫助同學們打開解題思路，而且可以減少計算量，真可謂“拋物線問題，定義先行”。

一、定義助我求軌跡

例1如圖1，在平面直角坐標系xOy中，點F=（，0），直線l：x=，點P在直線l上移動，R是線段PF與y軸的交點，RQ⊥FP，PQ⊥l。判斷動點Q的軌跡，并求其軌跡方程。

解析：依題意知，點R是線段FP的中點，且RQ⊥FP，所以RQ是線段FP的垂直平分線。

因為點Q在線段FP的垂直平分線上，所以|PQ|=|QF|。

又|PQ|是點Q到直線l的距離，故動點Q的軌跡是以F為焦點，l為準線的拋物線，其方程為y2=2x。

評注：解答本題的關鍵是發現|PQ|=|QF|，即動點Q的軌跡滿足拋物線的定義。

二、定義助我求方程

例2如圖2，過拋物線y2=2px（p>0）的焦點F的直線交拋物線于點A、B，交一其準線l于點C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，則此拋物線的方程為____。

解析：如圖3，分別過A、B作AA1⊥l于A，BB1⊥l于B1。

。

由拋物線的定義知：|AF|=|AA1|，|BF|=|BB1|。

因為|BC|=2|BF|，所以|BC|=2|BB1|，∠BCB1=30°，∠AFx=60°。

連接A1F，則△AA1F為等邊三角形。過F作FF1⊥AA1于F1，則F1為AA1的中點。設準線l交x軸于K，則|KF|=|A1F1|=，即p=

因此，拋物線的方程為

評注：求拋物線的標準方程就是求參數p的值，這個值可根據拋物線的定義并借助幾何法求得，從而避免了煩瑣的代數運算。

三、定義助我求比值

例3已知點A（2，0），拋物線的焦點為F，射線FA與拋物線C相交于點M，與其準線相交于點N，則|FM|：|MN|=（）。

A.2：√5

B.1：2

C.1：√5

D.1：3

解析：如圖4所示，過點M作MH⊥l，由拋物線定義知|MF|=|MH|，所以|MF|：|MN|=|MH|：|MN|。

由于△MHN△FOA，則

故答案為C。

評注：本題與例2相似，利用拋物線的定義和圖形特征，把解析幾何問題轉化為平面幾何問題，大大減少了計算量。

四、定義助我求面積

例4設O為拋物線的頂點，F為拋物線的焦點，且PQ過焦點的弦，若|OF|=a，|PQ|=b，求△OPQ的面積。

解析：因為PQ過焦點，所以|PQ|可看成兩個焦半徑之和。

如圖5，不妨設拋物線方程為y2=4ax，

評注：將焦點弦分成兩段，利用定義將焦點弦長用兩端點橫坐標表示，結合方程，利用根與系數的關系是常見的基本技能。本題計算三角形面積的技巧，也是拋物線中經常用到的，必須掌握。

五、定義助我求最值

例5已知拋物線y2”=2x的焦點是F，點P是拋物線，上的動點，又有點A（3，2），求|PA|+|PF|的最小值，并求出取最小值時點P的坐標。

解析：將x=3代入拋物線方程y'2=2x，得y=±6。

因為√6>2，所以A在拋物線內部。如圖6，設拋物線上點P到準線l：x=的距離為d，由定義知|PA|+|PF|=|PA|+d。當PA⊥準線l時，|PA|+d的值最小，最小值為。，即|PA|+|PF|的最小值為，此時P點縱坐標為2，代入y2=2x，得x=2，點P的坐標為（2，2）。

評注：與拋物線有關的最值問題，一般情況下都與拋物線的定義有關。由于拋物線的定義在運用上有較大的靈活性，因此此類問題也有一定的難度。“看到準線想焦點，看到焦點想準線”，這是解決拋物線焦點弦有關問題的重要方法。