直線與拋物線位置問題變式探究

項敬磊

直線與拋物線的位置關系問題，看似簡單，卻變化萬千。讓我們從一個簡單的例題談起。

引例：過定點P（O，2）作直線l，使直線l與拋物線y2=4x有且只有一個公共點，這樣的直線l共有____條。

分析：利用數形結合便可找到答案。

解：如圖1，過點P與拋物線y2=4x僅有一個公共點的直線有3條：2條切F線、1條與x軸平行的直線。

故答案為3。

評注：直線與拋物線只有一個公共點時，要考慮相圖1交于一點的情況，不要漏掉。

變式1：直線l：y=x-1與拋物線y2=4x是否相交？如果相交，試求兩交點之間的距離。

分析：可聯立直線方程與拋物線方程，消去y后得到一個關于x的一元二次方程，通過考查判別式△的正負來判斷它們的位置關系。而對于本題，由于直線l：y=x-1過拋物線y2=4x的焦點（1，0），故直線l與拋物線必相交。

解：因為直線l：y=x-1過拋物線y2=4x的焦點F（1，0），所以直線l與拋物線必相交。

評注：在拋物線中過焦點的弦稱為“焦點弦”。拋物線的定義本身也是拋物線最本質的性質，在求焦點弦長時起著至關重要的作用。

變式2：若直線l：y=kx-2交拋物線y2=8x于A、B兩點，且AB的中點為M（2，y0），求y0及弦AB的長。

分析：對A，B兩點坐標設而不求，進而利用韋達定理和弦長公式

評注：拋物線弦的中點坐標和方程的兩根之和的密切聯系是解決中點弦問題的關鍵，方程思想也是解析幾何的核心思想。

變式3：（1）已知拋物線C的頂點在坐標原點，焦點為F（1，0），直線l與拋物線C相交于A、B兩點。若AB的中點為（2，2），則直線l的方程為

（2）過拋物線y2=x上的點A（4，2）作傾角互補的兩條直線AB、AC，交拋物線于B、C，則直線BC的斜率為_

分析：（1）直線l過點（2，2），故要求直線直線l的方程，只需求直線l的斜率。又（2，2）是弦AB的中點，故宜采用點差法。（2）本小題雖未涉及弦的中點，但A，B，C三點都在拋物線上，并探究的是三條弦的斜率關系，故也宜采用點差法。

解：（1）因為拋物線C的頂點在坐標原點，焦點為F（1，0），所以=1，拋物線的方

程為y2=4x0

所以直線l的斜率為1，且過點（2，2），直線方程為y-2=x-2，即y=x。

①③兩式作差整理得：

②③兩式作差整理得

又因為kAC=-kAB，所以整理得y1+y2=-4。

代入④，即得到直線BC的斜率為

評注：在拋物線y2=2mx（m≠0）中，若直線l與拋物線相交于M、N兩點，點P（x0，y0）是弦MN的中點，弦MN所在的直線l的斜率為kMN，則kMN·y0=m。利用這個結論解有關問題，可以大大減少運算量。