解題非常道思維順勢為

熊華芳

解題是一種思維活動，當解題思路正面受阻時，人們便拋棄現有思路，迫不及待地去尋找另一思維方向。于是乎，“正難則反思想”“補集思想”、“等價轉化思想”便蜂擁而至。但這些方法從某個層面上說，是不是舍本逐末或不敢“正視”呢？筆者認為，解題時應具體問題具體分析，而不應刻意追求某種模式解法而束縛自己的思維。本文借助集合與簡易邏輯知識說明這一拙見。

例1已知集合A=，集合B=，集合C=，若三個集合至少有一個非空，求a的取值范圍。

分析1：“三個集合至少有一個非空”，正面討論情形較多，從反面入手。

解法1：假設三個集合均為空集，即三個方程均無實根，則：

分析2：三個集合至少一個非空，包括恰有一個非空、恰有2個非空、3個均非空，共7種情形，反面是三個集合均為空集，僅1種情形o看似正面求解會比反面求解復雜，其實不然。眾所周知，數學簡易邏輯中的“或”不同于生活中的“或”，是帶“兼有性”的“或”，指的是兩個或多個句子中，至少一個成立。反映到集合中，“或”可以理解為“并”，即兩個或多個集合的并集。若能充分理解“或"字含義，巧用取并集思想亦可快速解題。

解法2：正面考慮，需三個方程至少一個有解，分別解下面三個不等式

點評：解法2，看似要分三大類、七小類進行討論，但由于巧妙地把“或”靈活地演繹成“并”，正面挑戰亦然成功。兩種解法孰繁孰簡無需多言！

例2

分析：若從正面做有三種情況，比較復雜，所以考慮先求反面情況，再求補集即可

所以命題p：3∈A與命題q：5∈A中至少有一個是真命題時，實數a的取值范圍是1

解法2：

點評：正面三種情況，被一“并”解決，順理又成章，不見得比反面求解更復雜。

例3已知命題p：關于x的不等式有實數解，命題q：指數函數在R上單調遞增。

（1）若“p且q"為真命題，求實數a的取值范圍：

（2）若“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，求實數a的取值范圍。

分析：（1）“p且q”為真命題，則p真，q真：（2）“p或q”為真命題，則p，q至少有一個為真。

解法1：

解法2：

點評：解法1將問題分為兩類進行討論，復雜！解法2直視條件，順勢而為，簡單！

例4已知命題p：函數f（x）=的定義域為R：命題q：不等式a>對x為一切正實數均成立。如果命題“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，求實數a的取值范圍。

解析：易得命題p為真時，a>2：

命題q為真時，a≥l。

求并便知命題“p或q”為真命題時，a≥1。又命題“p且q”為假命題時，a≤2，所以滿足條件的實數a的取值范圍是1≤a≤2。

條山路看似荊棘滿布，或許是捷徑：一種思路好像障礙重重，順勢而為或許是妙想！迂回是一種智慧，面對卻是一種勇氣。學好數學要有智慧，但更多時候靠的是信心和勇氣。