優化小學數學問題解決教學“三要”

巢洪政

導 ? 讀：

數學應用題是課改前小學數學教學的重要內容。新課改以來的小學數學教材和教學中，已經將“應用題”歸入“問題解決”之中。如果我們能從學習心理學的高度全面把握影響解決問題教學的要素，采用科學的方法組織問題解決的教學，并進行恰當的評價活動，就能夠取得小學數學問題解決教學的成功，為不斷提升學生的數學素養做出應有的貢獻。

數學應用題是課改前小學數學教學的重要內容。新課改以來的小學數學教學和教材中，已經不再出現“應用題”的說法，而是將之歸入數學課程目標之一的“問題解決”（也可稱“解決問題”）之中。這樣的變化和改革，給當今的小學數學教學帶來了新的研究領域，廣大教師很有必要對此問題進行深入具體的研究。因此，把握數學問題解決過程的要素，優化小學數學問題解決的教學，我們要關注以下三個方面：

一、 要把握數學問題解決的要素

小學數學問題解決也是屬于問題解決范疇的，故學習心理學中有關問題解決的過程模型也適合小學數學問題解決的教學。美國認知心理學家吉克在1986年提出了一個問題解決過程的模型：

該模型突出了問題解決方法的形成有兩條途徑。第一條途徑是在建構了問題的表征、激活了正確的圖式后，就不必探索嘗試多種方法而能夠明顯地解決問題了。第二條途徑是問題解決者沒有可以利用的圖式，必須通過對各種方法的搜索檢驗才能找到合適的解決方法。聯系美國教育心理學家加涅有關問題解決的觀點看，第一條途徑指的是規則學習后對規則的應用，即解決常規問題;第二條途徑才是加涅認為的創造即解決問題。該模型強調了對解決問題的理解與表征、學生已有認知結構或已有知識經驗對問題解決的重要作用，也進一步說明解決問題過程不是線性關系。因此，全面重視兩條解決問題途徑的教學對提高學生解決問題能力都是至關重要的。依據吉克關于問題解決模型，我們可以確定影響數學問題解決的主要因素有如下幾方面。

1.知識。主要包括事實性知識、概念性知識和語言方面的知識。

事實性知識是學習者通曉某門學科或解決其中的問題所必須知道的基本要素，一般較為具體零碎;概念性知識是一種較為抽象概括的、有組織的知識類型。對于學生順利解決問題而言，事實性知識和概念性知識都是必不可少的。如在解決“相遇問題”時，“相向”“相背”“相遇”“相距”等都是學生必須理解的概念性知識。

語言方面的知識是指對數學問題中有關詞語的理解，例如，學生不能正確理解“增加了”“增加到”的意思就會造成解題錯誤。語言知識的掌握大多與學生的日常生活經驗積累和語文知識學習相關聯。

2.圖式。心理學界對圖式有許多相似的認識，認為圖式即知識的結構，它是用來描述一類人、一類客體、一類事件的共同特征的，是我們頭腦中關于一類客體、事件或情境的一般知識結構。圖式在問題解決的過程中是有利有弊的，應該在教學中正確把握并恰當使用。例如，有些學生在解決有關到郵局匯款和匯費的問題有困難，原因就是大部分學生頭腦中缺乏去郵局匯款的圖式。

在小學數學問題解決的教學中，圖式集中體現為學生掌握不同類型數學問題的結構，并在教學中常常把這種含有數量的結構之間各個部分的關系概括為數量關系，其文字表達就是數量關系式，數量關系在解決數學常規問題中具有重要作用，它能夠幫助學生實現對面臨問題的深度表征。如解決“求一個數的幾倍是多少”的問題：“學校舉行運動會。三年級有56人參賽，五年級的參賽人數是三年級的4倍。五年級有多少人參賽？”這樣的問題中有兩個變量：一個數和倍數。通常的數量關系式是：一個數×倍數=幾倍數，或一倍數×倍數=幾倍數。學生掌握了這樣的數量關系，解答此類問題就十分快捷。而且，這兩個變量是可以不斷變化的，這樣的數量關系也就能夠適合解決同類的多個問題。在新課改的初期，問題解決教學中曾經一度出現由于忽視數量關系教學，導致部分學生問題解決學習水平下降的現象，在《數學課程標準（2011版）》中，此問題已經得到了糾正，又重新指出數學問題解決的教學要重視基本數量關系的分析與教學，其理論依據就在于此。

3.策略。問題解決的策略是學習策略的重要組成部分，它是指在問題解決的過程中，在元認知活動的作用下，調用（或發現）問題解決的方法，有效地組織問題解決的認知操作活動，使認知操作活動實際起到消除問題的“障礙”，達到問題解決目的的一種內部心理機制。

現代認知心理學按思維的搜索方式把思維策略分為算法式策略和啟發式策略。啟發式策略是一種憑借經驗的解決問題的方法，它是問題解決的弱方法，也可以稱為解決問題的經驗規則。常見的類型有：嘗試、綜合、分析、整理、畫圖、枚舉（列舉）、簡化、倒推（還原）、假設（包括替換）、轉化（化歸）等，其中嘗試、整理、畫圖、綜合、分析、轉化等策略是基本的且適用性較廣的策略，倒推（還原）、假設（包括替換）等策略是特殊的策略。

二、要科學完整地設計問題解決教學的過程

就“數與代數”領域的小學數學解決問題的教學而言，依據吉克提出的關于問題解決過程的模型我們可以看出，知識、圖式和策略是影響問題解決的3個最關鍵要素，而問題解決存在著兩條基本的途徑，所以，考察小學數學解決問題教學的一般過程，我們可以在合理劃分所學解決問題內容的教學目的不同指向的基礎上，科學完整地重點確定4種課堂教學模式設計。

1.建構概念性知識的問題教學模式。主要是指一步計算基本問題的教學和一些涉及知識點較多的數學問題的教學。這些問題解決教學的基本目的是讓學生建立基本問題正確的概念性知識，為以后解決問題的教學打下良好基礎。主要的教學步驟有：進行與基本問題有關的操作活動，利用幾個實物圖直觀說明有關問題的概念，揭示有關問題的概念性知識，練習與應用。

例如：二年級“倍的認識”簡單問題的教學可以這樣進行：先讓學生擺上下兩行同樣多的小棒，說明“同樣多”;然后在第二行添加幾組與第一行同樣多的小棒，說說下一行小棒里有幾個上一行的小棒。再利用幾個實物圖說明第二行物體中有幾個第一行的物體，歸納有“幾個幾”就是“誰是誰的幾倍”，建立“倍”的概念性知識。最后進行相關練習與作業，不斷深化學生對“倍”的有關知識的理解。

2.利用圖式解決常規性問題的教學模式。主要表現為數量關系的教學，一般可以從以下幾個步驟展開教學：復習與新知學習有關的數量關系或鋪墊性問題;揭示新問題，理解新問題情景中圖式的結構;分析新問題中的數量關系，得出解題思路;列式解答后進行檢驗并與舊問題進行比較;最后進行變化練習。

3.利用策略創造性解決問題的教學模式。主要是指蘇教版小學數學教材中有關“解決問題的策略”部分例題的教學，其他版本的小學數學教材中的同類例題可以參考這個模式進行教學。根據相關的問題解決知識，我們可以簡單地歸納為五步：引入、體驗（或示范）、歸納、練習、作業（或拓展）。在整個教學過程中，我們應讓學生廣泛參與解決問題的過程，通過觀察、猜測、實驗、驗證、推理與交流等多種數學活動，提高學生對應用題的理解與分析水平，除了采用傳統的講授分析的學習方式為學生示范策略的操作步驟外，還應大力提倡采用動手實踐、自主探索與合作交流的數學學習方式解決問題，使學生逐步掌握解決數學問題的思想方法、知識策略，不斷提高學生思維能力、創新能力和解決實際問題的能力。由于策略的本質是一套系統編碼的程序性知識，因此教學的關鍵要在“體驗”和“歸納”階段，讓學生得出某種策略執行的步驟，并能將這樣的步驟在類似的問題中逐步熟練運用，經過一段時間后逐步達到在變化的情景中自如運用，學生就基本形成了問題解決策略。如蘇教版小學數學四年級上冊“整理”的策略例1可以這樣教學：首先，讓學生對信息比較多或亂的問題進行整理，產生策略學習的心向;其次，結合例題中的兩個例子，讓學生體會整理的好處和整理的步驟;然后，師生共同歸納整理，將總結的步驟恰當地在“想想做做”的練習中運用;最后完成相應的作業。應該指出，在教學中，教師主要是讓學生把握在方法層面的操作步驟，當一段時間后學生能夠將這樣的步驟在不同情景的數學問題中自如地運用，就說明學生頭腦中形成了此種解決問題的策略。

4.解決問題中練習課的教學模式。主要是在問題解決的練習階段采用的課堂教學模式，可以適當加強數學問題的結構比較練習、圖式（重點是數量關系）的練習和問題類型的歸納拓展，幫助學生掌握有聯系數學問題的解答規律，這對提高學生解決常規問題的能力是大有幫助的。主要的操作步驟有：基本數量關系的練習，某類數學問題的再現練習，某類數學問題的變化和比較練習，適當的拓展練習，課后作業。

三、要準確掌握問題解決評價的要求

科學進行問題解決的教學，準確把握問題解決的評價要求也很重要。在當今小學數學問題解決的教學現狀中，目前的問題解決內容已經比較完備全面，有的已經將課改前只在“奧數”中出現的內容，也已經引進了小學數學教學中，特別是蘇教版小學數學教材，還專門編寫了“解決問題的策略”單元，成為教材的特色和亮點。這樣的情況，有時會引起一些不明白教材編寫意圖的教師的誤解，他們往往錯誤地認為：現在的小學數學要教奧數了。真正的理由是：出現一些原來認為是奧數中的內容，是能夠適合一定年級學生的理解水平的，或者是為了說明某個“策略”的典型例子而已，許多并不需要進行考查考試，更不是需要教學奧數的題目。因為，有關問題解決的教學評價問題，原來的小學數學教學大綱和現在的數學課程標準都有明確的規定，如2000年3月教育部修訂的小學數學教學大綱就明確規定“整數、小數應用題不超過三步，分數應用題不超過兩步”。而且，對于分數實際問題，數學課程標準（2011版）中只要求學生“能解決小數、分數和百分數的簡單實際問題”。由于新課程已經刪除了繁、難、舊的教學內容，故這里的“簡單實際問題”顯然只能是指日常生活中簡單的一、兩步的實際問題，不應該超過以前大綱規定的步數和難度要求。所以，在進行考試評價時，我們一定要把握好評價的要求，切不要超標考試。例如，過去我們常常讓學生解答這樣的問題：某工程隊要行走210千米，開始每天走25千米，走了3天后，余下的路程每天多走10千米，需要幾天走完？還有這樣的問題：某段工程，甲、乙一起做要4[45]天完成，若此項工程由甲隊單獨做2天后，乙隊接著做3天，能完成工程的[1324]，求甲、乙兩隊獨做各要幾天？這兩個數學問題，顯然都是超標的數學問題，無須教學和考試，僅是少部分學生的思考題而已。當然，我們還應該注意，并不是小學數學教材中的所有內容都是需要考試的，“思考題”就不列入考試范圍，僅供學有余力的學生解答;就蘇教版教材來說，教材中的探索規律、實踐活動和“你知道嗎？”等許多內容，都可以不列入考試命題的范圍，如果確實需要考查這些內容，命題者還是需要考慮大綱和課標規定的數學問題的步數限制的。因此，廣大數學教師一定要把握好大綱和新課標中的教學要求，恰當做好問題解決內容的教學與評價工作。

綜上所述，如果我們能從學習心理學的高度分析清楚影響解決問題教學的主要因素，采用科學的方法組織問題解決的教學，并進行恰當的評價活動，就能夠取得問題解決教學的成功，為不斷提升小學生的數學素養做出應有的貢獻。

（作者單位：江蘇省江陰市英橋國際學校）

責任編輯 周瑜芽

E-mail：jxjyzyy@163.com