從化歸角度理解面積問題

陳宏亮

(江蘇省海門市東洲國際學校 226100)

問題(2018·昆山一模)如圖1，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，點E為AB的中點，以AE為邊作等邊△ADE(點D與點C分別在AB的異側)，連接CD.則△ACD的面積為____.

一、幾何背景下的方法分析

分析通過分析△ABC與△ADE，可得ED=EA=EC=EB，則點A，B，C，D四點共圓，圓心為點E，進一步分析可得∠ACD=30°，∠ADC=45°，那求△ACD的面積的方法選擇就是本題解題的關鍵了.

1.三角形面積公式求解面積

2.利用共邊三角形同高不同底進行面積比值轉換

3.利用平行進行面積等積變換

4.利用割補轉化為面積的和差關系

方法總結幾何背景下的面積策略是把圖形面積與三角函數、勾股定理或者相似等幾何性質相結合，進而求出相應線段的長度，即面積問題轉化為線段問題.

二、代數背景下的方法分析

方法總結代數背景下的面積問題，本質上是把面積中的線段的問題，通過函數解析式轉化為基本的點問題，也就是幾何中的“斜線段”化為直角坐標系中平行于坐標軸的“直線段”.

法9：S△ADC

把各類方法綜合一下，不管背景是代數背景還是幾何背景，不管是求面積還是用面積，此類問題大致可歸為兩類思考方向：①運用原圖形的面積公式轉化為線段之積;②運用共邊三角形把面積轉化為新三角形,出現面積相等、面積比值、面積和差的問題.而幾何背景下可運用幾何圖形的性質或者運算求得線段長度，代數背景下“化斜為直”轉化為點坐標的問題.當點涉及動點時，面積問題也是以此法求得.

教學感悟其實初學幾何圖形時，我們了解到點是組成幾何圖形的基本要素，本題在處理面積問題時化圖形為線段，化線段為點，較好地闡釋了“化歸思想”在面積問題中的運用，進而合理使用數學方法解決問題這也是初中階段培養學生核心素養的基本要求.在日常教學中對于“化歸思想”的運用不能僅僅局限于思想的表述或者總結，而應引導學生細化至某一類問題的“化歸方向”，使學生有徑可循，有法可依.