論多視角下初中幾何圖形的一題多解

廖望清

(廣東省深圳市平湖中學 518111)

隨著新課改的不斷深入，初中數學教學呈現出多元化的特征，傳統的一題一解或是固定思維模式已經不能滿足新教育形式下學生的成長成才需求，教師必須要以多個不同的教學視角與教學思路，拓展學生的數學思維，給學生多種學習可能性.下文結合具體的案例談談怎樣在多視角下實現初中幾何圖形的一題多解.

一、幾何圖形解題技巧

在學習幾何類知識時，教師應當指導學生明確以下幾條解題技巧：(1)在解幾何類圖形時，適當的添加幾條輔助線是十分有必要的.(2)在日常學習中，要多注重積累與運用，要學會從例題中總結解題思路與方法，例如學生想要真正掌握輔助線的運用，就需要在學習過程中收集幾道有關三角形添加輔助線的典型例題，分析總結這幾道題的解題思路.(3)對于幾何類習題的解答，必須要學會反復推敲，舉一反三，在以某一種思路解完題后，還需要換一種思路繼續嘗試解答，這樣能讓學生的邏輯思維得到鍛煉.(4)要充分利用教材，吃透教材，對于教材中的概念以及公式、關系都要熟記于心，如果在解題過程中找不到思路，就要從基本知識入手，因為一切解題技巧都是從教材中的基礎知識上衍生而來.(5)要學會培養興趣，所謂興趣是最好的老師，如果學生對這類題目沒有探究的欲望，那么就不會有活的思維.

二、案例分析

有如下一道幾何證明題：若三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，則該三角形為直角三角形.該道題目中有以下已知條件：△ABC中，CD為AB上的中線，且CD是AB的一半，求證△ABC為直角三角形.

我們可以從一般思維角度進行求解，方法如下：

∵AD=BD，又CD=1/2AB，∴AD=BD=CD,

∴∠A=∠ACD,∠B=∠DCB(等邊對等角)，

則∠A+∠B=∠ACD+∠DCB=∠ACB(等式的性質).

又∵∠ACB+∠A+∠B=180°(三角形內角和定理)，

即2∠ACB=180°(等量代換),

∴∠ACB=90°,

即△ABC為直角三角形(直角三角形定義).

除此之外，該道題還有第二種解法：

過D點作DE⊥BC，交BC于E,則∠DEB=90°.

∵AB=BD,又CD=1/2AB,

∴AD=CD=BD.

∴在等腰△ADC中，∠A=∠3(等邊對等角)，

在等腰△DBC中，∠1=∠2(等腰三角形底邊上的高與頂角平分線互相重合).

∴∠3+∠A=2∠A，∠BDC=∠1+∠2=2∠1.

又∵∠BDC=∠A+∠3(三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和),

∴2∠1=2∠A(等量代換),

即∠1=∠A.

∴AC∥DE(同位角相等，兩直線平行),

∠ACB=∠DEB=90°(兩直線平行，同位角相等),

∴△ABC為直角三角形.

此外，我們還能找到第三種

解法：

延長CD到E，使DE=CD,連接AE與BE.

∵AD=BD,

∴四邊形AEBC是平行四邊形(兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形),

∴CD=1/2CE(平行四邊形兩條對角線互相平分).

又CD=1/2AB,

∴1/2CE=1/2AB(等量代換),

即CE=AB.

∴平行四邊形AEBC是矩形(兩條對角線相等的平行四邊形是矩形)

因此∠ACB=90°(矩形的四個角都是直角),

∴△ABC為直角三角形(直角三角形定義).

三、多視角下初中幾何圖形的一題多解總結

通過上述分析可知，多視角下初中幾何圖形的習題具備多種解法，當在解題過程中正向思維受阻時，教師就應當有效引導學生換一種思維繼續嘗試，如逆向思維，即逆證法，根據題目給出已知條件，分析解題思路，在分析過程中引導學生根據題目要求明確需要證明的結論，再從結論入手，利用反向思維一步步倒回式分析，分析過程中及時寫下解題要點以及過程，一步一步推理最終獲得答案.此外，在解題過程中我們不難發現，基礎概念、理論是解幾何題目的基礎，無論學生運用哪種解題思維，都離不開基礎的定理、公式.因此，在學習這類知識時，拓展思維，大膽求證是一方面，更重要的，還是要將教材中的基礎知識做到融會貫通，這樣才能進一步談學習能力的提升.除此之外，一道幾何類題目本身包含有多條線索，教師在引導學生進行分析思考時，一定要教會學生從題目中找線索，從題目中找思路與方法.最后，知識是靜態的，題目是固定的，但是思維是不斷活動變化著的，學生在拿到一道幾何類題目時，一定不能恐懼，不能慌，要認識到題目就在這里，不會再改變，而我們卻可以動用智慧、將它解出來.

數學幾何類題目一題多解的案例是非常多的，教師應當在教學活動中給學生多舉例，利用這類題目學生的邏輯思維以及各方面的解題技能，有效提升學生的解題能力.