解讀坐標(biāo)系中圖形變換規(guī)律

何 萍

(湖北省恩施市龍鳳鎮(zhèn)民族初級(jí)中學(xué) 445003)

一、舉例

我們?cè)趯W(xué)習(xí)位似變換前已經(jīng)接觸過平移變換、軸對(duì)稱變換以及旋轉(zhuǎn)變換等，這幾類變換在中考中經(jīng)常放在一起考查，一不留神就會(huì)出錯(cuò)，主要原因是沒有理解圖形變換的規(guī)律，把圖形變換的方向與坐標(biāo)的符號(hào)弄錯(cuò).下面舉一例對(duì)圖形變換的規(guī)律進(jìn)行剖析.

例如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，4)，請(qǐng)解答下列問題：

(1)畫出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A1B1C1，并寫出點(diǎn)A1的坐標(biāo)；

(2)將△A1B1C1先向下平移2個(gè)單位，再向右平移5各單位，得到△A2B2C2，畫出這個(gè)三角形，并說出點(diǎn)A2的坐標(biāo)；

(3)以圓心O為位似中心作出△A2B2C2的位似圖形△A3B3C3，要求△A2B2C2與△A3B3C3的相似比為2∶1．

二、解析

這道例題我們分下面三步來思考.

1.關(guān)于軸對(duì)稱和中心對(duì)稱

對(duì)稱規(guī)律是：點(diǎn)P(x，y)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(x,-y)；關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)P2的坐標(biāo)為(-x,y)；關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)P3的坐標(biāo)為(-x,-y).可歸納為：與誰對(duì)稱誰不變，另一個(gè)變號(hào)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，橫變縱也變．

方法一：如圖2所示，根據(jù)軸對(duì)稱圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線段被對(duì)稱軸垂直平分，找出A、B、C三點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A1、B1、C1的位置，再順次連接，可得關(guān)于y軸對(duì)稱的圖形△A1B1C1.然后根據(jù)圖形寫出點(diǎn)A1的坐標(biāo)(-2，4).

方法二：根據(jù)圖形和點(diǎn)A的坐標(biāo)(2，4)，分別找出點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)B(1，2)、C(5，3)，再根據(jù)軸對(duì)稱規(guī)律，分別找出A、B、C三點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)A1(-2， 4)、B1(-1，2)、C1(-5，3)，再順次連接，可得關(guān)于y軸對(duì)稱的圖形△A1B1C1.

2.關(guān)于平移

平移規(guī)律是：左右移動(dòng)時(shí)，橫坐標(biāo)左減右加，縱坐標(biāo)不變；上下移動(dòng)時(shí)，縱坐標(biāo)上加下減，橫坐標(biāo)不變.

方法一：圖形的平移與圖形上某點(diǎn)的平移相同，將點(diǎn)A1、B1、C1先向下平移2個(gè)單位，再向右平移5個(gè)單位，得到點(diǎn)A2、B2、C2的位置，再順次連接，可得平移后的圖形△A2B2C2.從圖上可直接寫出A2的坐標(biāo)是(3，2)，依次計(jì)算出B2、C2的坐標(biāo)，連線(如圖2)即畫出所求△A2B2C2.

方法二：觀察圖形和A1點(diǎn)的坐標(biāo)(-2，4)，根據(jù)點(diǎn)的平移規(guī)律“左減右加、上加下減”直接計(jì)算，得A2(-2+5，4-2)即A2(3，2)，B2(-1+5，2-2)即B2(4，0)，C2(-5+5，3-2)即C2(0，1).由坐標(biāo)確定點(diǎn)A2、B2、C2的位置，再順次連接，可得平移的圖形△A2B2C2.

3.關(guān)于位似變換

位似的規(guī)律：兩個(gè)位似圖形是指它們的每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過同一點(diǎn)的特殊的相似圖形.

利用圖形變化確定點(diǎn)的坐標(biāo)，關(guān)鍵是掌握點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律，根據(jù)圖形的性質(zhì)找到各點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置，順次連接可得變化后的圖形.

對(duì)稱變換:成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形中，其中一個(gè)圖形上的所有點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)都在另一個(gè)圖形上，軸對(duì)稱圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連接線段被對(duì)稱軸垂直平分.對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等.對(duì)應(yīng)線段或其延長(zhǎng)線相交，那么交點(diǎn)在對(duì)稱軸上.

旋轉(zhuǎn)變換:圖形通過旋轉(zhuǎn)，圖形中每一點(diǎn)都繞著旋轉(zhuǎn)中心沿相同的方向旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度，任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線的夾角都與旋轉(zhuǎn)角相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等，旋轉(zhuǎn)過程中，圖形的形狀、大小都沒有發(fā)生變化.

平移變換:圖形的平移包含兩要素，一是平移的方向，二是平移的距離，判斷平移的時(shí)候，只需要沿平移的“路徑”進(jìn)行平移便可確定其兩要素.

在平面直角坐標(biāo)系中，如果把一個(gè)圖形向左或向右平移a(a>0)個(gè)單位長(zhǎng)度，那么圖形上各個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)都減或加a；如果把一個(gè)圖形向上或向下平移a(a>0)個(gè)單位長(zhǎng)度，那么圖形上各個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)都加或減去a.

位似變換:位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比，兩個(gè)位似圖形的周長(zhǎng)的比等于位似比，面積的比等于位似比的平方.如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k，點(diǎn)(x，y)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是(kx，ky)或(-kx，-ky)，根據(jù)位似比找出另一個(gè)圖形的關(guān)鍵點(diǎn).

位似圖形是相似圖形的特例，不僅要求形狀形同，而且還要求對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線相交于同一點(diǎn)，因此位似圖形一定是相似圖形，但相似圖形不一定是位似圖形．可能在圖形的中間、兩個(gè)圖形的同一側(cè)或圖形上.作一個(gè)圖形的位似圖形的基本步驟是：選定位似中心——連點(diǎn)——延長(zhǎng)——截倍(分)等，而得到放大或縮小的圖形，新圖形與原圖形就是位似圖形.