透過全等思想看中考題中的線段關系

宮慶軍

(山東省淄博市博山中學 255200)

在歷年的中考中經常出現三角形及隱形三角形(需添加輔助線)的問題，問題涉及到線段的關系，有位置關系和數量關系，此時考生能否順利完成試題的關鍵是要有全等的思想和類比的思想，抓住這兩點可能問題就會迎刃而解.下面就幾個中考的題或者經典的題做論述.

例1(經典)如圖，已知△ABC是銳角三角形，分別以AB，AC為邊向外側作兩個等邊△ABM和△CAN．D，E，F分別是MB，BC，CN的中點，連結DE，FE，求證：DE=EF．

解題分析本題中多個中點會聯想到中位線定理，進而作輔助線MC和BN，它們的關系就是DE和EF的關系，等邊三角形中有相等的邊和角自然想到△AMC和△ABN的全等問題，進而證得MC=BN，所求問題依據中位線定理自然解決了.具體過程不再贅述.

例2(淄博中考)(1)操作發現：如圖①，小明畫了一個等腰三角形ABC，其中AB=AC，在△ABC的外側分別以AB，AC為腰作了兩個等腰直角三角形ABD，ACE，分別取BD，CE，BC的中點M，N，G，連接GM，GN．小明發現了：線段GM與GN的數量關系是____；位置關系是____．

(2)類比思考：如圖②，小明在此基礎上進行了深入思考．把等腰三角形ABC換為一般的銳角三角形，其中AB>AC，其它條件不變，小明發現的上述結論還成立嗎？請說明理由．

(3)深入研究：如圖③，小明在(2)的基礎上，又作了進一步的探究．向△ABC的內側分別作等腰直角三角形ABD，ACE，其它條件不變，試判斷△GMN的形狀，并給與證明．

解題分析和例1比較它把外接等邊三角形換成了等腰直角三角形，使問題變得復雜了，GM與GN的關系可能就不止是相等這么簡單了，應該能想到是垂直關系，先猜測再去證明是關鍵.此類問題均是從一個三角形出發，向外作幾何圖形，從而產生問題，讓學生作答，抓住全等三角形這個工具，同時體會類比思想的重要性.

∴MG=NG，MG⊥NG.故答案為：MG=NG，MG⊥NG.

(2)連接CD，BE，相交于H，同(1)的方法得MG=NG，MG⊥NG.

(3)連接EB，DC，延長線相交于H.

同(1)的方法得MG=NG.

同(1)的方法得△ABE≌△ADC，∴∠AEB=∠ACD，∴∠CEH+∠ECH=∠AEH-∠AEC+180°-∠ACD-∠ACE=∠ACD-45°+180°-∠ACD-45°=90°，∴∠DHE=90°，同(1)的方法得MG⊥NG．

例3(濟南中考)如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC>BC，分別以AB、BC、CA為一邊向△ABC外作正方形ABDE、BCMN、CAFG，連接EF、GM、ND，設△AEF、△BND、△CGM的面積分別為S1、S2、S3.

(1)猜想S1、S2、S3的大小關系,深入研究;

(2)請對(1)的猜想，任選一個關系進行證明；

(3)若將圖1中的Rt△ABC改為圖2中的任意△ABC，若S△ABC=5，求出S1+S2+S3的值；

(4)若將圖2中的任意△ABC改為任意凸四邊形ABCD，若S△AEG+S△CNK+S△IBH+S△DFM=a，四邊形ABCD的面積為____.(直接用含a的代數式表示結果)

解題分析此題和淄博中考題類似，它外接的是正方形，內部圖形無論怎么變化，它的解題思路不變，利用全等找出相等的線段關系，進而證得面積相等，不過它的線段相等更具有隱藏性，輔助線的作法稍微有點難度，更加考驗考生的思維能力.具體思路如下：很容易得到S3=S△ABC.進一步猜想其它的兩個三角形面積也等于S△ABC，此時需要證明它們的高或底邊相等，延長FA至H作EH⊥AH，由△ABC≌△AEH得到EH=BC，進而得到S1=S△ABC，進而得到S1=S2=S3，用類比的思想就能解決后面的問題.

全等三角形的運用一直是數學的重要組成部分，它就像數學中的一個根源所在，許多問題皆由它而來，它涉及了幾何中最重要的角和線段的關系.不僅在于它讓學生學會了數學的幾何證明方法，也讓學生體會了數學中的轉化思想.它具有很大的靈活性，也具有一定的難度，有時候找不到哪兩個三角形全等，此時就要從三角形全等的性質入手，具體數學問題具體分析，體現了學生的各種綜合能力.全等三角形知識是幾何教學的中軸線，是基礎，是代數和幾何連接的紐帶.