對一道中考壓軸題的溯源、多解與思考

杭 靜 陳德前

(1.江蘇省興化市板橋初級中學 225700;2.江蘇省興化市教育局教研室 225700))

一、試題呈現

如圖1，在平面直角坐標系xOy中，,邊長為a(a為大于0的常數)的正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點P，頂點A在x軸正半軸上運動，頂點B在y軸正半軸上運動(x軸的正半軸、y軸的正半軸都不包含原點O)，頂點C、D都在第一象限．(1)當∠BAO=45°時，求點P的坐標；(2)求證：無論點A在x軸正半軸上、點B在y軸正半軸上怎樣運動，點P都在∠AOB的平分線上；(3)設點P到x軸的距離為h，試確定h的取值范圍，并說明理由．

二、設計溯源

看到這道試題，我們不禁聯想到蘇科版教材七年級下冊第149頁數學實驗室的內容和八年級上冊第59頁的第11題：畫∠AOB=90°，并畫∠AOB的平分線OC.

(1)把三角尺的直角頂點落在OC的任意一點P上，使三角尺的兩條直角邊分別于OA、OB相交于點E、F(如圖2①)，度量PE、PF的長度，這兩條線段線段嗎？

(2)把三角尺繞點P旋轉(如圖2②)，PE與PF相等嗎？證明你的結論．

三、多解呈現

(2)解法1：∵ 四邊形ABCD是正方形，∴∠APB=90°，PA=PB．取AB的中點M，連接PM、OM，如圖3.∵∠APB=∠AOB=90°，∴BM=AM=OM=PM，即A、O、B、P四點共圓，∴∠AOP=∠BOP，即OP平分∠AOB.

解法2：∵ 四邊形ABCD是正方形，∴∠APB=90°，PA=PB．取AB的中點M，連接PM、OM，如圖3，∵∠APB=∠AOB=90°，∴BM=AM=OM=PM，即A、O、B、P四點共圓，∴∠AOP=∠ABP=45°；同理∠BOP=45°，即OP平分∠AOB.

解法3：如圖4，過點P作PE⊥OP，交x軸于點E.∵∠APB=∠AOB=90°，∴∠PBO+∠PAO=180°，而∠PAE+∠PAO=180°，∴∠PBO=∠PAE；由∠APB=∠OPE=90°，有∠OPB=∠APE；又PB=PA，∴△PBO≌△PAE，∴PO=PE，得∠POA=45°，∴OP平分∠AOB.

解法4:如圖4，在OA的延長線上截取AE=BO，連接PE.∵∠APB=∠AOB=90°，∴∠PBO+∠PAO=180°，而∠PAE+∠PAO=180°，∴∠PBO=∠PAE；又PB=PA，∴△PBO≌△PAE，∴PO=PE，∠BPO=∠APE，∴∠OPE=90°，∠POA=45°，∴OP平分∠AOB.

解法5：∵ 四邊形ABCD是正方形，∴∠APB=90°，PA=PB．將△PBO繞點P旋轉90°到△PAE的 位置.∵∠APB=∠AOB=90°，∴∠PBO+∠PAO=180°，∴∠PAE+∠PAO=180°，∴點E在OA的延長線上，如圖4，∴∠OPE=∠APB=90°．

山東省濟寧市魚臺縣王廟鎮棉花種植面積有5萬多畝，郝集村的劉磊今年種植了不少畝棉花，為了準確把握棉花各生育期生長特點及需肥規律，驗證云天化復合肥在棉花種植中所展現的效果是否能滿足植物生長所需的營養，待試驗結束后對照試驗用肥量、用肥成本、用肥肥效、棉花產量等綜合因素下，云天化復合肥同其他廠家的肥料的優缺對照，云天化工作人員選擇了劉磊家的棉花作為對照試驗的樣本，想通過田間試驗，總結出一套適合棉花生長全程營養解決方案，為云天化復合肥做好技術服務指導，提高云天化復合肥的影響力。

由PO=PE，有∠POA=45°，∴OP平分∠AOB.

解法7：如圖6，過點D作DE⊥x軸，垂足為E，交射線OP于點F.同證法6可知△ABO≌△DAE，∴BO=AE，OA=DE；再由BO與EF平行，有∠POB=∠F，又∠OPB=∠FOD，∴△PBO≌△PDF，∴BO=DF，∴OE=OA+AE=DE+OB=DE+DF=EF，∴∠FOE=45°，∴OP平分∠AOB.

解法8：如圖6，過點D作DE⊥x軸，垂足為E.同證法6可知△ABO≌△DAE，∴BO=AE；連接PE，∵∠APB=∠AOB=90°，∴∠PBO+∠PAO=180°，而∠PAE+∠PAO=180°，∴∠PBO=∠PAE；又PB=PA，∴△PBO≌△PAE，∴PO=PE，∴∠BPO=∠APE，∴∠OPE=90°，∠POA=45°，∴OP平分∠AOB.

解法9：如圖7，過點P作PE⊥x軸，過點B作BF⊥PE，垂足分別為E、F.可證△PEA≌△BFP，得PE=BF，又BF=OE，∴PE=OE，得∠POE=45°，∴OP平分∠AOB.

解法10：如圖8，過點D作DE⊥x軸，垂足為E，過點C作CF⊥y軸，垂足為F，DE與FC交于點H.易知四邊形OEFH是矩形；∵AB=AD，∠ABO=∠DAE，∴Rt△ABO≌Rt△DAE，∴BO=AE，AO=DE，同理，Rt△ABO≌Rt△BCF，∴OA=BF，∴OE=OF，∴四邊形OEFH是正方形，∴DH=BD.連接PH，可證△PBO≌△PDH，∠BPO=∠DPH，∴O、P、H在同一直線上，∴OP平分∠AOB．

理由5：過P作PM⊥x軸于M, 如圖11①.

四、教學思考

要想順利地解決壓軸題,在復習教學中，我們必須加強以下幾方面的工作:

1.重基礎.要重視知識的基礎性、全面性，切實掌握基礎知識、基本技能、基本思想方法,做到概念清晰無誤,運算熟練準確,思路簡捷有序.要構建完整的知識體系，讓各種概念、定理、公式、常用結論及解題方法，都能在頭腦中再現，象本題的求解中用到的點的坐標、特殊角的三角函數值、全等三角形的判定與性質、特殊平行四邊形的性質與判定、中位線定理、函數解析式的求法、面積法等都是初中階段重要而基礎的知識，務必要切實掌握，只有這樣，才能在解題時得心應手，游刃有余.

2. 優思維.要優化思維品質，努力培養思維的深刻性、廣闊性、靈活性、批判性.思維深刻、批判能力強的同學，解題時不會一有了解題思路就迫不及待地動筆解答，而是廣開思路，尋找最優的解法.如在第(2)小題的解決過程中要從圖形中去尋找有關信息，思考簡便解法.這樣做雖然分析問題的過程拉長了，但落筆做題的時間卻大大縮短了，真正起到了事半功倍的效果.

3．提能力.要發展探究能力，掌握重要的思維方式.目前數學開放型試題的研究已成為中考數學命題的熱點問題，如第(3)小題，研究開放探索型問題，給我們提供了自主探索的機會.要順利解決開放探索型問題，就要關注數學能力的發展，掌握常用的思維方式，提高運用所學知識和技能分析問題與解決問題及獲取信息的能力.要全身心的參與探究活動的全過程，在觀察、實驗的活動中，通過比較、分析、歸納、類比、抽象等思維活動，獲取數學猜想再進行說理，創造性地解決有關開放探索型問題.