基于“數學核心素養”理念下的解題研究
——對一道中考題解法的思考

倪 波

(江蘇省蘇州外國語學校 215011)

數學教育家G·波利亞有個觀點：“掌握數學就意味著善于解題.”解題能力是學習數學的重要能力之一.教師也很重視解題訓練，但是不知道如何有效提高學生的解題能力.學生在學習過程中，解題的主要方法也是“模仿”，模仿老師講解的方法與思路，然后通過刷題來提高速度與正確率，很少去思考題目深層次隱含的數學思想、數學方法，一旦題目稍加變化，就不知所措了.如何改變這種解題的低效局面？如何將數學核心素養的培養有效地融入到解題教學中？筆者以一道中考題的解題教學為例，談談個人的一些想法.

一、試題呈現

如圖1，△ABC是⊙O的內接三角形，直徑AB長為10，弦AC長為6, ∠ACB的平分線CD交⊙O于點D，求CD的長.

二、解法探究

評析從條件CD是∠ACB的平分線入手，利用角平線性質，過D作DE⊥CA，DF⊥CB，分別交CA、CB所在直線于點E、F，從而得到解法3；亦可利用角平分線對稱性，構造△CAD≌△CED，過點D作DF⊥BC，根據等腰三角形的“三線合一”與等腰直角三角形的性質來解題，從而得到解法4.

評析在四邊形ACBD中，∠ADB=∠ACB=90°，AD=BD，可構造△CAD≌△BDF，其本質是將△ADC繞點D旋轉至△BDF，利用等腰直角三角形的性質解題，由此還可得另一種解法，過點D作DE⊥CD，交CA延長線于點E，解法類似.

三、變式

變式1 如圖7，⊙O的直徑AB長為10，弦AC長為6, ∠CAB的平分線交⊙O于點D. 求AD的長.

分析此題與原題對比，∠ACB的平分線改為∠CAB的平分線，雖然條件有了變化，但是角平分線這個條件仍然存在，因而聯想到角平分線的性質，過點D向CA、CB作垂線，利用相似三角形的性質來解題.

變式2 如圖8，△ABC是⊙O的內接三角形，AC=6，BC=8，∠ACB=60°，∠ACB的平分線交⊙O于點D，求CD的長.

評析此題與原題對比，條件中添加∠ACB=60°，本質上只是將∠ACB=90°改為∠ACB=60°，我們仍然可以從角平分線這個條件入手，過點D向CA、CB作垂線，利用角的對稱性、解直角三角形相關知識來解題.

四、推廣

如圖9，△ABC是⊙O的內接三角形，AC=b，BC=a，∠ACB=n°，∠ACB的平分線交⊙O于點D，求CD的長.

評析將原題的條件一般化后可進一步推廣，即一個圓的任意內接三角形，知道兩邊及其夾角，可求出夾角平分線與三角形外接圓相交形成的線段長.

五、感悟

1.抓住本質，解法的自然生成

一道題的圖形會很復雜，條件也會有很多，學生在較多條件情況下，分析出對自己有用的信息存在一定的難度，那么，我們老師在幫助學生分析的時候，需要從題目的關鍵條件入手，讓學生能夠聯想到某個基本圖形，對比分析選擇的條件與是否與基本圖形的條件一致，從而很自然地生成一個解法.例如本題中問題的解決，圓只是作為題目的背景，實質上就是解三角形的問題，而角平分線就是一個關鍵條件，學生只要聯想到角平分線的性質，就能作出相關輔助線，最終解決問題.

2.推廣延伸，提升學生的能力

數學是思維的體操，在學習數學的過程中，邏輯推理能力起主導作用，所以在平時教學中要更多地關注題目的自然解法，注重引導學生學會分析,學會從多個角度來思考問題(一題多解)，對題目進行類比、拓展、延伸(一題多變)，對同一類題型題目進行歸納與總結，關注每題考查的核心內容，從題目中提煉出數學的本質，使數學解題更自然，從而真正提高學生的思維能力與解題品質.