基于“數(shù)學核心素養(yǎng)”理念下的解題研究
——對一道中考題解法的思考

倪 波

(江蘇省蘇州外國語學校 215011)

數(shù)學教育家G·波利亞有個觀點：“掌握數(shù)學就意味著善于解題.”解題能力是學習數(shù)學的重要能力之一.教師也很重視解題訓練，但是不知道如何有效提高學生的解題能力.學生在學習過程中，解題的主要方法也是“模仿”，模仿老師講解的方法與思路，然后通過刷題來提高速度與正確率，很少去思考題目深層次隱含的數(shù)學思想、數(shù)學方法，一旦題目稍加變化，就不知所措了.如何改變這種解題的低效局面？如何將數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)有效地融入到解題教學中？筆者以一道中考題的解題教學為例，談?wù)剛€人的一些想法.

一、試題呈現(xiàn)

如圖1，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，直徑AB長為10，弦AC長為6, ∠ACB的平分線CD交⊙O于點D，求CD的長.

二、解法探究

評析從條件CD是∠ACB的平分線入手，利用角平線性質(zhì)，過D作DE⊥CA，DF⊥CB，分別交CA、CB所在直線于點E、F，從而得到解法3；亦可利用角平分線對稱性，構(gòu)造△CAD≌△CED，過點D作DF⊥BC，根據(jù)等腰三角形的“三線合一”與等腰直角三角形的性質(zhì)來解題，從而得到解法4.

評析在四邊形ACBD中，∠ADB=∠ACB=90°，AD=BD，可構(gòu)造△CAD≌△BDF，其本質(zhì)是將△ADC繞點D旋轉(zhuǎn)至△BDF，利用等腰直角三角形的性質(zhì)解題，由此還可得另一種解法，過點D作DE⊥CD，交CA延長線于點E，解法類似.

三、變式

變式1 如圖7，⊙O的直徑AB長為10，弦AC長為6, ∠CAB的平分線交⊙O于點D. 求AD的長.

分析此題與原題對比，∠ACB的平分線改為∠CAB的平分線，雖然條件有了變化，但是角平分線這個條件仍然存在，因而聯(lián)想到角平分線的性質(zhì)，過點D向CA、CB作垂線，利用相似三角形的性質(zhì)來解題.

變式2 如圖8，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AC=6，BC=8，∠ACB=60°，∠ACB的平分線交⊙O于點D，求CD的長.

評析此題與原題對比，條件中添加∠ACB=60°，本質(zhì)上只是將∠ACB=90°改為∠ACB=60°，我們?nèi)匀豢梢詮慕瞧椒志€這個條件入手，過點D向CA、CB作垂線，利用角的對稱性、解直角三角形相關(guān)知識來解題.

四、推廣

如圖9，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AC=b，BC=a，∠ACB=n°，∠ACB的平分線交⊙O于點D，求CD的長.

評析將原題的條件一般化后可進一步推廣，即一個圓的任意內(nèi)接三角形，知道兩邊及其夾角，可求出夾角平分線與三角形外接圓相交形成的線段長.

五、感悟

1.抓住本質(zhì)，解法的自然生成

一道題的圖形會很復雜，條件也會有很多，學生在較多條件情況下，分析出對自己有用的信息存在一定的難度，那么，我們老師在幫助學生分析的時候，需要從題目的關(guān)鍵條件入手，讓學生能夠聯(lián)想到某個基本圖形，對比分析選擇的條件與是否與基本圖形的條件一致，從而很自然地生成一個解法.例如本題中問題的解決，圓只是作為題目的背景，實質(zhì)上就是解三角形的問題，而角平分線就是一個關(guān)鍵條件，學生只要聯(lián)想到角平分線的性質(zhì)，就能作出相關(guān)輔助線，最終解決問題.

2.推廣延伸，提升學生的能力

數(shù)學是思維的體操，在學習數(shù)學的過程中，邏輯推理能力起主導作用，所以在平時教學中要更多地關(guān)注題目的自然解法，注重引導學生學會分析,學會從多個角度來思考問題(一題多解)，對題目進行類比、拓展、延伸(一題多變)，對同一類題型題目進行歸納與總結(jié)，關(guān)注每題考查的核心內(nèi)容，從題目中提煉出數(shù)學的本質(zhì)，使數(shù)學解題更自然，從而真正提高學生的思維能力與解題品質(zhì).