用轉化思想求值研究與應用

葛旭輝

(甘肅省平涼市第四中學 744000)

一、數與形的轉化

數缺形少直觀，形離數難入微(著名數學家華羅庚教授語).根據所解問題需要，可把數量關系的問題轉化為圖形的性質問題去討論，或者把圖形性質問題轉化為數量關系問題來研究，這樣既直觀又深刻.

在二次函數y=ax2+bx+c的教學中如何讓學生在“形”上理解相關知識如“a、b、c”的正負性以及“Δ”符號的幾何意義、還有“y=0”，“y>0或y<0”時x的解等都離不開教學中直角坐標系圖形的展示.可見，“數”與“形”的結合不僅揭示了知識之間的內在聯系，也充分展示了知識之間相互溝通的內在規律性.

例2 已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象(見圖2)，則下列代數式ab、ac、a+b+c、a-b+c、2a+b、2a-b中，其值為正的式子的個數為( ).

A.2 B.3 C.4 D.5

解答分析時只須緊扣“形”中數的揭示，即函數y在x取特定值0、1、-1等情形下判斷出幾個較難的式子的值的正負性.這種以“形”為手段，以“數”為目的的方法無時不在函數教學中起著重要的作用.選B.

二、條件的轉化

例3a、b為實數，滿足a2+b2+ab=1,ab-a2-b2=t,試求t的取值范圍.

例4 求使|8x2+18x-45|為質數的整數x的和.

晚唐人古詩，秾鮮柔媚，近詩馀矣。即義山七古，亦以辭勝。獨此篇，意則正正堂堂，辭則鷹揚風翙，在爾時如景星慶云，偶然一見。(280)

例5 ①已知a是實數，且使a3+3a2+3a-2=0,求(a+1)1996+(a+1)1997+(a+1)1998的值.

解∵a3+3a2+3a+2=0,∴(a+1)3+1=0,即(a+1)=-1,原式=(-1)1996+(-1)1997+(-1)1998=1-1+1=1.

解由a、b、c均不為0，知b+c,c+a,a+b也均不為0.又a+b+c=0，所以a、b、c中不能全同號，故必有一正二負或一負二正.

說明由已知式通過變形轉化得出未知式的值或含有待求式的代數式然后再代入求值，必須注意待求式與已知式之間的結構特征.

三、動態與靜態的轉化

動點與定點、動直線與定直線等等，都有動態和靜態的特征，從靜態中探求結論，為動態情形提供證明或計算的目標，促使矛盾轉化，可以簡化解題過程.

例6 一游泳者沿河逆游而上，于A處將攜帶的物品(可漂浮)遺失，在繼續前游30分鐘后發現物品遺失，即刻返回順游，距A處3千米的B處追到物品，問此河水流速多少？

不妨先假設人在靜水里游泳，30分鐘后發現物品遺失，即刻返回追取，物品應在A處，而人回游也需30分鐘，來回共用了1小時.

再考慮運動狀態，由于物品是漂浮的，它順水而下，移動了3km，這段距離是在人來回共用去1小時內完成的，故河水的流速為3km/h.答：略.

四、一般與特殊的轉化

由于特殊問題常常比較簡單，并且特殊問題的解法孕育著一般問題的解決.因此，特殊化是一種常用的解題思想方法.

分析Pi是不確定的點，是否對每個i來說，mi的值都確定？不妨用特殊點作探索，當Pi為點B或C時，mi=4；當Pi為BC中點時，mi=4,故可作這樣的猜想：對BC邊上的任一點Pi均有mi=4，然后設法證明或推翻這個猜想.

五、數據處理的轉化

例8 甲、乙兩同學做“投球進筐”游戲，商定：每人玩5局，每局在指定線外將一個皮球投往筐中，一次未進可再投第二次，以此類推，但最多只能投6次.當投進時，該局結束，并記下投球次數，當6次都未投進時，該局也結束，并記為“×”.兩人五局投球情況如下：

第一局第二局第三局第四局第五局甲5次×4次×1次乙×2次4次2次×

第一局第二局第三局第四局第五局甲得分乙得分

(1)為了計算得分，雙方約定，記“×”的該局得0分，其它局得分的計算方法要滿足兩個條件：

①投球次數越多，得分越低；

②得分為正數，請你按約定的要求，用公式、表格、語言敘述等方式，選取其中一種，寫出一個將其他局的投球次數n換算成得分M的具體方案.

(2)請根據上述約定和你寫出的方案，將甲乙兩人的每局得分，填入牌上的表格中，并從平均分的角度來判斷誰投得更好.

解析這類題目看似十分復雜，不易得分.但只要理解其意義，抓住本質問題，進行科學的、合理的方案設計，問題是不難的.值得注意的是本例較一般新題更具有創新性和開放性，語言表達更要準確.